10편Exercises and Solutions

연습문제와 해설

R 실습 — 손으로 돌려 보기STAGED+ 스터디

11. 연습문제 (Exercises)

문제 1. 밀도 — 방향을 버리면 왜 커지는가

방향 네트워크의 밀도는 0.1354였다. as_undirected(mode="collapse")로 무방향화하면 간선이 66개가 된다. 고립자 1024를 제외한 25명의 무방향 밀도를 손으로 계산하고, 방향 밀도 0.1354보다 큰 이유를 설명하라.

아래 해설에 답이 있다. 먼저 풀고 맞춰 볼 것.

문제 2. 상호성 세 가지를 dyad census에서 복원하기

dyad.census 결과 Mut = 22, Asym = 44, Null = 259만 가지고 grecip()의 세 가지 값(dyadic, dyadic.nonnull, edgewise)을 각 항을 전부 써서 손으로 계산하라. 그리고 학부모 상담에서 "이 반 아이들은 서로 잘 통하나요?"라는 질문에 답할 때 어느 값을 써야 하는지와 그 이유를 쓰라.

문제 3. 에러 고치기

아래 코드는 셋 다 에러가 나거나 이상한 값을 준다. 무엇이 문제인지 진단하고 고쳐 쓰라.

library(sna); library(igraph)

# (a)
betweenness(adj, gmode = "digraph")

# (b)
el2 <- read.csv("classroom-edges.csv")
g2  <- graph_from_data_frame(el2, directed = TRUE)

# (c)
closeness(adj, gmode = "digraph")

문제 4. E-I 지수를 다른 기준으로 다시 재기

7절에서 성별 기준 E-I는 −0.8409였다. 이번에는 6.3절의 walktrap 커뮤니티를 집단 기준으로 삼아 E-I를 계산하려 한다.

계산하기 전에, 그 값이 성별 기준(−0.8409)보다 −1에 더 가까울지 덜 가까울지 예상하고 이유를 쓰라. 근거로 삼을 만한 것: 6.3절에서 walktrap의 $Q = 0.4387$ 이 성별 분할의 $Q = 0.4086$ 보다 크다.
실제로 계산하는 R 코드를 쓰고 값을 구하라.
예상과 맞았는가? 틀렸다면 무엇을 빠뜨렸는지 설명하라.

문제 5. 교실 적용 — 세 학생을 어떻게 다르게 볼 것인가

1024, 1030, 1036은 indegree가 모두 0이다. 지표만 보면 똑같이 "지명 못 받은 학생"이다. 그런데 담임으로서 이 셋에게 해야 할 일은 서로 다르다. 세 학생을 구분하는 데 쓸 수 있는 네트워크 지표를 각각 제시하고, 그 지표 값이 왜 다른 행동을 요구하는지 쓰라.

12. 해설과 답 (Solutions)

문제 1 해설 — 밀도

① 무엇을 세는가. 무방향 네트워크에서 가능한 관계 수는 $\binom{n}{2}$ 다. 방향 네트워크의 $n(n-1)$ 의 정확히 절반이다 — 방향이 없으면 $i \to j$ 와 $j \to i$ 가 같은 하나이기 때문이다.

대상	$n$	가능한 관계	실제 간선	밀도
방향, 26명	26	$26\times25 = 650$	88	88/650 = 0.1354
무방향, 26명	26	$\binom{26}{2} = 325$	66	66/325 = 0.2031
무방향, 1024 제외	25	$\binom{25}{2} = 300$	66	66/300 = 0.2200

② 간선이 왜 88 → 66인가. 상호 지명 22쌍이 각각 화살표 2개 → 간선 1개로 합쳐진다.

유형	개수	방향 간선	무방향 간선
상호(Mut)	22쌍	22 × 2 = 44	22 × 1 = 22
비대칭(Asym)	44쌍	44 × 1 = 44	44 × 1 = 44
합	66쌍	88	66

답: 1024를 제외한 무방향 밀도 =

66/300 = \mathbf{0.22}

커진 이유는 세 가지가 겹친 것이다.

분모가 절반이 됐다 (650 → 325). 이게 가장 큰 효과다.
분자는 절반이 되지 않았다 (88 → 66, 75%로만 줄었다). 비대칭 간선 44개는 합쳐질 짝이 없어 그대로 살아남기 때문이다. 상호성이 낮을수록 무방향화로 밀도가 더 크게 오른다.
고립자를 뺐다 (325 → 300). 아무 간선도 없는 1024가 분모만 키우고 있었다. 이것만으로 0.2031 → 0.2200이 됐다.

교실 해석 — 밀도를 보고할 때는 반드시 "방향인가 무방향인가, 고립자를 뺐는가"를 같이 써야 한다. 같은 자료가 0.135도 되고 0.220도 된다 — 1.6배 차이다. 다른 학급과 비교할 때 이 조건이 다르면 비교 자체가 무의미하다.

문제 2 해설 — 상호성

① 먼저 재료를 정리한다.

기호	뜻	값
$M$	상호 — 서로 지명한 쌍	22
$A$	비대칭 — 한쪽만 지명한 쌍	44
$N$	없음 — 둘 다 안 한 쌍	259
$M+A+N$	모든 쌍	325 = $\binom{26}{2}$ ✔
$m$	전체 방향 간선 = $2M + A$	2(22) + 44 = 88 ✔

② 세 가지를 각각 전개한다.

`measure=`	공식	전개	값
`"dyadic"`	$\dfrac{M+N}{M+A+N}$	$\dfrac{22+259}{22+44+259} = \dfrac{281}{325}$	0.864615
`"dyadic.nonnull"`	$\dfrac{M}{M+A}$	$\dfrac{22}{22+44} = \dfrac{22}{66}$	0.333333
`"edgewise"`	$\dfrac{2M}{2M+A}$	$\dfrac{44}{44+44} = \dfrac{44}{88}$	0.500000

③ 왜 "dyadic"이 이렇게 큰가. 분자에 $N = 259$ 가 들어 있다. 아무 관계도 없는 쌍을 "짝이 맞았다"고 세는 것이다. 259가 325의 80%이므로, 관계가 성길수록 이 값은 자동으로 1에 가까워진다. 극단적으로 간선이 하나도 없는 네트워크의 dyadic 상호성은 1.0이다.

답: dyadic = 0.8646, dyadic.nonnull = 0.3333, edgewise = 0.5000.

학부모 상담에서 쓸 값은 edgewise = 0.5다.

이유: 이 값만이 학생 경험으로 번역되는 문장을 준다 — "아이가 친하다고 적은 이름 두 개 중 하나는 그쪽에서도 아이를 적었습니다."
dyadic 0.86은 "86%가 잘 통한다"로 들리지만 실제로는 대부분 '서로 모른다'를 센 것이라 학부모를 오해하게 만든다.
dyadic.nonnull 0.33도 정확한 값이지만 "관계가 있는 쌍 중에서"라는 조건을 설명해야 해서 상담 자리에서 전달하기 어렵다.

문제 3 해설 — 에러 고치기

(a) `betweenness(adj, gmode = "digraph")`

진단: library(igraph)를 나중에 켰으므로 betweenness는 igraph의 것이 불린다. igraph에는 gmode 인자가 없다. 또 igraph 함수는 행렬(adj)이 아니라 igraph 객체를 받는다. 에러 두 개가 겹쳐 있다.

고친 코드:

sna::betweenness(adj, gmode = "digraph")     # 행렬을 그대로
# 또는
igraph::betweenness(g, directed = TRUE)      # igraph 객체를

두 값은 완전히 일치한다(최대 차이 0). 어느 쪽을 써도 된다 — 중요한 건 객체 종류와 인자 이름을 짝지어 주는 것이다.

(b) 엣지리스트 읽기

진단: 문제가 두 개다.

colClasses가 없어 from·to가 정수로 읽힌다. graph_from_data_frame은 정수 ID를 정점 번호로 오해할 수 있다.
vertices =가 없어 1024가 사라진다. 엣지리스트 88행 어디에도 1024가 없기 때문이다. 정점이 26이 아니라 25가 된다.

고친 코드:

el2 <- read.csv("classroom-edges.csv", colClasses = "character")
el2$liking <- as.numeric(el2$liking)
nod <- read.csv("classroom-nodes.csv",
                colClasses = c("character", "logical", "numeric", "numeric"))
g2 <- graph_from_data_frame(el2, directed = TRUE, vertices = nod)

vcount(g2)
[1] 26          # vertices= 없이 하면 25가 나온다

이 실수가 특히 위험한 이유: 에러가 안 난다. 25명짜리 그래프가 조용히 만들어지고, "고립자는 없습니다"라는 정반대 결론이 나온다. 분석에서 가장 중요한 학생 하나가 통째로 빠진 채로.

(c) `closeness(adj, gmode = "digraph")`

진단: 여기도 igraph가 가리므로 우선 gmode에서 에러가 난다. sna::를 붙여 고쳐도 결과가 전부 0이다 — 1024가 고립돼 있어 모든 학생에게 $d=\infty$ 인 상대가 있기 때문이다. 에러를 고쳤는데도 답이 틀린, 가장 까다로운 유형이다.

고친 코드:

sna::closeness(adj, gmode = "digraph", cmode = "suminvdir")

교훈: "에러 없이 돌아갔다"는 "맞았다"가 아니다. 결과가 전부 0이거나 전부 같은 값이면 반드시 의심한다.

문제 4 해설 — 커뮤니티 기준 E-I

① 자연스러운 예상 (그리고 이건 틀린다). walktrap 커뮤니티는 간선이 집단 안쪽에 몰리도록 만들어진 분할이다 (모듈러리티를 최대화한다는 게 정확히 그 뜻이다). 반면 성별은 연결과 무관하게 미리 주어진 라벨이다. 게다가 $Q$ 도 walktrap 쪽이 크다.

분할	집단 수	모듈러리티 $Q$
walktrap 커뮤니티	5	0.438705
성별로만 나눈 분할	2	0.408632

그러니 "walktrap 쪽 E-I가 −1에 더 가깝겠다"고 예상하는 게 자연스럽다. 계산해 보면 반대다.

② 계산 코드와 결과.

wt   <- igraph::cluster_walktrap(gu)
memb <- igraph::membership(wt)
names(memb) <- igraph::V(gu)$name

same <- memb[el$from] == memb[el$to]      # 방향 간선 88개 각각에 대해
I <- sum(same);  E <- sum(!same)
c(I = I, E = E, EI = (E - I) / (E + I))
     I      E     EI
76.000 12.000 -0.7273

기준	집단 수	$I$ (안)	$E$ (밖)	E-I
성별	2	81	7	−0.8409
walktrap	5	76	12	−0.7273

답: 커뮤니티 기준 E-I = −0.7273. 성별 기준(−0.8409)보다 −1에서 오히려 더 멀다. 예상이 틀렸다.

무엇을 빠뜨렸나 — 집단 수다.

E-I는 집단을 잘게 쪼갤수록 나빠진다. 경계가 늘어나면 "밖으로 나가는 간선"으로 세어지는 것이 늘어나기 때문이다. 성별은 경계가 하나(남|여)뿐이지만, walktrap의 5집단에는 경계가 훨씬 많다. 실제로 넘어간 12개를 뜯어보면 그중 8개는 성별이 같은데도 집단이 달라서 $E$ 로 세어졌다 (예: 1063(여) → 1006(여), 1033(남) → 1051(남)).

따라서 집단 수가 다른 두 분할의 E-I를 직접 비교하면 안 된다. 이건 E-I 지수의 잘 알려진 한계다. 극단적으로 확인해 보면 분명해진다 — walktrap 계층을 2집단에서 자르면 $E=0$ , E-I = −1이 되지만 그 분할은 25명과 1024를 가른 것뿐이라 $Q = 0$ 이다. E-I만 완벽하고 아무것도 설명하지 못한다.

$Q$ 와 E-I가 서로 다른 순위를 준 것도 이 때문이다. $Q$ 는 집단 크기로부터 기대되는 내부 간선 수를 빼서 보정하므로 집단 수에 덜 휘둘린다. 분할끼리 비교할 때는 $Q$ , 하나의 분할이 얼마나 갈라져 있는지 볼 때는 E-I를 쓴다.

더 중요한 것 — 애초에 커뮤니티 기준 E-I는 "발견"이 될 수 없다. 자기가 만든 분할로 자기를 채점하는 것이라, 알고리즘이 잘 작동한 만큼 좋게 나올 뿐이다. E-I가 뜻을 갖는 것은 성별·성적·거주지처럼 네트워크 바깥에서 온 기준을 쓸 때다. 7절의 −0.8409가 강한 결과인 이유가 바로 이것이다.

문제 5 해설 — 세 학생 구분하기

indegree = 0은 셋이 같지만, 다른 지표를 하나씩만 더 보면 완전히 갈린다.

학생	outdegree (보낸 지명)	coreness	컴포넌트
1024	0	0	혼자 (크기 1)
1030	2	2	본체 (크기 25)
1036	3	2	본체 (크기 25)

※ coreness 2인 학생은 학급에서 1030 · 1033 · 1036 셋뿐이고, coreness 0은 1024 하나다. 이 네 명이 학급의 가장 바깥 층이다.

답 — 구분에 쓸 지표와 그에 따른 행동:

지표 ①: outdegree (보낸 지명) — 1024 vs 나머지 둘

1024는 outdegree도 0이다. 설문에 아무것도 적지 않았다. 관계가 없는 게 아니라 응답이 없는 것일 수 있다. → 행동: 분석이 아니라 확인. 그날 출석했는가, 설문지를 받았는가. 이걸 건너뛰고 "고립아"로 해석하면 결석 기록을 심리 진단으로 바꿔 놓는 셈이다.
1030·1036은 지명을 했다. 참여했고, 친하다고 여기는 상대가 있었다. 이건 데이터 결손이 아니라 실제 관측이다.

지표 ②: 누구를 지명했는가 — 1030 vs 1036

for (s in c("1030", "1036")) {
  t <- el$to[el$from == s]
  cat(s, "->", paste0(t, "(ind=", ind[t], ", out=", oud[t], ")", collapse = ", "), "\n")
}
1030 -> 1009(ind=7, out=3), 1078(ind=8, out=3)
1036 -> 1006(ind=7, out=4), 1033(ind=1, out=1), 1042(ind=9, out=4)

1030은 인기 상위권 둘만 골랐다(1009는 받은 지명 7개, 1078은 8개, 둘 다 여학생). → 행동: 이미 지명이 몰려 있는 학생만 바라보고 있다. 여유 있는 다른 학생과의 접점을 만들어 준다.
1036은 다르다. 인기 학생(1006·1042)도 골랐지만 지명이 1개뿐인 1033도 골랐다. 폭이 넓다. 실제로 1036 → 1033은 이 학급에서 1033이 받은 유일한 지명이다. → 행동: 1036은 남을 챙기는 쪽이다. 이 성향을 살릴 자리를 준다.

지표 ③: 지명한 상대의 outdegree — "칸이 차서 못 적은 것"인가?

그럴듯한 가설이다. 이 조사는 최대 6명까지 적게 했으니, 상대의 지명 칸이 이미 찼다면 응답이 없는 게 거부가 아닐 수 있다. 그런데 이 자료에서는 성립하지 않는다. 위 출력의 out=을 보면 상대들은 3~4칸만 썼다 — 두세 칸이 비어 있었다. 6칸을 다 쓴 학생은 학급에서 1027 한 명뿐이고, 그마저 1030·1036의 지명 대상이 아니다. → 결론: "자리가 없어서"는 이 학급에서는 설명이 되지 않는다.
가설을 세우고 데이터로 기각하는 이 과정 자체가 분석이다. 확인하지 않고 "칸이 찼겠지"로 넘어갔다면 잘못된 안심을 했을 것이다.

핵심: 같은 0이라도 "말을 걸지 않은 0"과 "말을 걸었는데 답이 없던 0"은 완전히 다른 상황이다. 전자는 데이터를 의심할 일이고, 후자는 개입할 일이다. indegree 하나만 보면 이 구분이 사라진다 — 그래서 5.5절에서 여러 지표를 같이 보라고 한 것이다.

연습문제와 해설

11. 연습문제 (Exercises)

12. 해설과 답 (Solutions)

(a) betweenness(adj, gmode = "digraph")

(b) 엣지리스트 읽기

(c) closeness(adj, gmode = "digraph")

이어서 읽기

(a) `betweenness(adj, gmode = "digraph")`

(c) `closeness(adj, gmode = "digraph")`