단원 1-7Reachability Matrix & Strong/Weak Components

도달가능성 행렬과 강한·약한 컴포넌트

SNA 이론 · 단계별 학습STAGED+ 스터디

차례

오늘의 질문 (Today's Question)
도달가능성 행렬의 정의 (Definition of Reachability)
왜 $I$ 를 더하는가 (Why Add the Identity)
손 계산 — 25칸 전부 더하기 (Summing All 25 Cells)
행과 열로 읽기 (Reading Rows and Columns)
강한 컴포넌트 — $R \wedge R^{\mathsf T}$ (Strong Components)
약한 컴포넌트 — 방향을 지우고 보기 (Weak Components)
R 검증 (Verification in R)
교실 해석 (Classroom Interpretation)
연습문제 (Exercises)
연습문제 해설과 답 (Solutions)

1. 오늘의 질문 (Today's Question)

단원 1-6에서 거리행렬 $D$ 를 만들었다. 오늘은 거기서 숫자를 버리고 0/1만 남긴다.

"몇 단계냐"는 잊고, "닿기는 하냐"만 묻는다. 그리고 "서로 닿는 학생끼리 묶으면 몇 덩어리인가?"

이 두 질문의 답이 도달가능성 행렬과 컴포넌트다. 단원 1-6의 $D$ 를 보면 답이 이미 절반은 보인다 — $\infty$ 가 아닌 칸이 곧 "닿는" 칸이다.

D=\begin{array}{c|ccccc} & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5\\ \hline M_1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1\\ M_2 & 2 & 0 & 1 & 2 & 3\\ M_3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2\\ M_4 & \infty & \infty & \infty & 0 & \infty\\ M_5 & 1 & 2 & 2 & 3 & 0 \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad R=\begin{array}{c|ccccc} & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5\\ \hline M_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ M_5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

오늘은 이 $R$ 을 거리행렬 없이 곧바로 만드는 법(§2~§4)과, $R$ 에서 학생 집단을 갈라내는 법(§6~§7)을 배운다.

2. 도달가능성 행렬의 정의 (Definition of Reachability)

정의. 도달가능성 행렬(reachability matrix) $R$ 은

R[i,j] = \begin{cases} 1 & i \text{에서 } j \text{로 가는 길이 있다} \\ 0 & \text{없다} \end{cases}

이며, 행렬로는 다음과 같이 계산한다:

R = \Big(\; I + A + A^2 + A^3 + \cdots + A^{n-1} \;\Big) > 0

세 부분으로 나눠 읽는다.

부분	뜻	왜 필요한가
$I$	0걸음 — 제자리	$d(i,i)=0$ 관례를 반영 (§3에서 자세히)
$A + A^2 + \cdots$	1걸음, 2걸음, … 걷기의 개수	길이가 몇이든 하나라도 있으면 닿는다
$A^{n-1}$ 에서 멈춤	4걸음까지 ( $n=5$ )	경로는 최대 $n-1$ 걸음 — 단원 1-6 §2와 같은 이유
$> 0$	양수면 1, 0이면 0	개수는 버리고 유무만 남긴다

더하는 이유는 "합"이 필요해서가 아니다. 실제로 필요한 건 논리합(OR) — $A, A^2, \dots$ 중 어느 하나라도 그 칸이 0이 아니면 1이다. 행렬은 음수가 없으므로 그냥 더한 뒤 > 0을 씌워도 결과가 같아서 이렇게 쓴다. 그래서 §4에서 나오는 합계 숫자 8, 7, 4 …는 버려질 값이다. 개수 자체에는 의미를 두지 말 것 (단원 1-3에서 배운 대로, 그 숫자는 걷기의 개수라 부풀려져 있다).

3. 왜 $I$ 를 더하는가 (Why Add the Identity)

$I$ 를 빼고 $A + A^2 + A^3 + A^4$ 만 더하면 대각선이 어떻게 되는지 보자. 단원 1-3에서 대각선의 뜻은 "자기에게 돌아오는 순환"이었다.

학생	$A^2$	$A^3$	$A^4$	$I$ 없는 합	순환에 속하는가
M1	2	1	4	7 > 0	예 — M1→M3→M1
M2	0	1	0	1 > 0	예 — M2→M3→M1→M2
M3	1	1	2	4 > 0	예
M4	0	0	0	0	아니오 — 나가는 화살표가 없다
M5	1	0	2	3 > 0	예 — M5→M1→M5

$I$ 가 없으면 M4는 자기 자신에게조차 도달하지 못한다고 기록된다. 그러면 "M4는 어느 컴포넌트에도 속하지 않는" 이상한 결과가 나온다. $I$ 를 더하는 것은 "누구나 자기 자신에게는 0걸음으로 닿아 있다"는 관례를 행렬에 심는 일이다. 수학적으로는 $A^0 = I$ 이므로 $I$ 는 "0걸음 걷기"를 세는 항이라고 봐도 된다.

4. 손 계산 — 25칸 전부 더하기 (Summing All 25 Cells)

다섯 행렬 $I, A, A^2, A^3, A^4$ 를 칸별로 더한다. 단원 1-6 §1에 다 있는 값이다. 0인 항도 빼지 않고 다섯 항을 전부 쓴다.

칸	$I$	$A$	$A^2$	$A^3$	$A^4$	합	$R$
$[1,1]$	1	0	2	1	4	8	1
$[1,2]$	0	1	0	2	1	4	1
$[1,3]$	0	1	1	2	3	7	1
$[1,4]$	0	0	1	1	2	4	1
$[1,5]$	0	1	0	2	1	4	1
$[2,1]$	0	0	1	0	2	3	1
$[2,2]$	1	0	0	1	0	2	1
$[2,3]$	0	1	0	1	1	3	1
$[2,4]$	0	0	1	0	1	2	1
$[2,5]$	0	0	0	1	0	1	1
$[3,1]$	0	1	0	2	1	4	1
$[3,2]$	0	0	1	0	2	3	1
$[3,3]$	1	0	1	1	2	5	1
$[3,4]$	0	1	0	1	1	3	1
$[3,5]$	0	0	1	0	2	3	1
$[4,1]$	0	0	0	0	0	0	0
$[4,2]$	0	0	0	0	0	0	0
$[4,3]$	0	0	0	0	0	0	0
$[4,4]$	1	0	0	0	0	1	1
$[4,5]$	0	0	0	0	0	0	0
$[5,1]$	0	1	0	2	1	4	1
$[5,2]$	0	0	1	0	2	3	1
$[5,3]$	0	0	1	1	2	4	1
$[5,4]$	0	0	0	1	1	2	1
$[5,5]$	1	0	1	0	2	4	1

합계 행렬과 그 결과인 $R$ :

I{+}A{+}A^2{+}A^3{+}A^4=\begin{array}{c|ccccc} & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5\\ \hline M_1 & 8 & 4 & 7 & 4 & 4\\ M_2 & 3 & 2 & 3 & 2 & 1\\ M_3 & 4 & 3 & 5 & 3 & 3\\ M_4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ M_5 & 4 & 3 & 4 & 2 & 4 \end{array} \;>0\;\Longrightarrow\; R=\begin{array}{c|ccccc} & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5\\ \hline M_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ M_5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

§1에서 거리행렬의 $\infty$ 를 0으로 바꿔 만든 $R$ 과 정확히 같다 ✓. 두 길(거리행렬에서 오는 길 / 행렬 거듭제곱을 더하는 길)이 같은 답을 준다는 것은 $R[i,j]=1 \Longleftrightarrow d(i,j) < \infty$ 라는 관계를 확인해 주는 셈이다.

5. 행과 열로 읽기 (Reading Rows and Columns)

단원 1-4에서 행합·열합의 뜻이 달랐던 것처럼, $R$ 의 행과 열도 다른 질문에 답한다. 자기 자신(대각선)은 빼고 센다.

학생	행합 − 1 out-reach	내가 소식을 보낼 수 있는 사람	열합 − 1 in-reach	나에게 소식을 보낼 수 있는 사람
M1	4	전원	3	M2, M3, M5
M2	4	전원	3	M1, M3, M5
M3	4	전원	3	M1, M2, M5
M4	0	아무도 없음	4	전원
M5	4	전원	3	M1, M2, M3

M4는 완벽한 비대칭이다 — 도달 범위 0, 피도달 범위 4. 반면 나머지 넷은 모두 out-reach 4(전원에게 닿는다). 즉 도달가능성만으로는 M1~M3, M5를 구별할 수 없다. "닿냐 안 닿냐"는 거친 질문이라 학생 간 차이를 대부분 지워 버린다. 그래서 얼마나 빨리 닿는지(거리, 단원 1-6)와 얼마나 중심적으로 닿는지(중심성, 2단계)를 따로 재는 것이다.

6. 강한 컴포넌트 — $R \wedge R^{\mathsf T}$ (Strong Components)

정의. 두 학생 $i, j$ 가 강하게 연결(strongly connected)되어 있다는 것은 $i \to j$ 와 $j \to i$ 가 둘 다 가능하다는 뜻이다:

R[i,j] = 1 \;\text{ 이고 }\; R[j,i] = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \big(R \ast R^{\mathsf T}\big)[i,j] = 1

강한 컴포넌트(strongly connected component)는 이렇게 서로 오갈 수 있는 학생들의 최대 집합이다.

$R^{\mathsf T}$ 는 $R$ 의 행과 열을 바꾼 것이므로 $R^{\mathsf T}[i,j] = R[j,i]$ 다. 따라서 $R$ 과 $R^{\mathsf T}$ 를 칸끼리 곱하면(둘 다 1일 때만 1) 양방향 도달 여부가 나온다. $R$ 의 4행만 0이므로 $R^{\mathsf T}$ 는 4열만 0이다:

R^{\mathsf T}=\begin{array}{c|ccccc} & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5\\ \hline M_1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ M_2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ M_3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ M_4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_5 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}

칸별로 곱한다. 값이 갈리는 칸(4행·4열)만 전개해 보면:

칸	$R[i,j]$	$R[j,i]$	곱	읽기
$[1,4]$	1	0	0	M1→M4는 되지만 M4→M1이 안 된다 → 강하게 연결 아님
$[4,1]$	0	1	0	위와 같은 쌍을 반대에서 본 것
$[2,4]$	1	0	0	M4는 누구와도 상호 도달이 안 된다
$[1,2]$	1	1	1	M1→M2 M1→M2, M2→M1 M2→M3→M1 ✓
$[2,5]$	1	1	1	M2→M5 3걸음, M5→M2 2걸음 ✓
$[4,4]$	1	1	1	자기 자신과는 항상 강하게 연결 ( $I$ 를 더한 효과)

R \ast R^{\mathsf T}=\begin{array}{c|ccccc} & M_1 & M_2 & M_3 & M_5 & M_4\\ \hline M_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ M_2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ M_3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ M_5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ \hline M_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}

(M4를 맨 아래로 옮겨 적었다. 이렇게 순서를 바꾸면 1로 채워진 정사각 블록이 드러난다.)

결과. 강한 컴포넌트는 2개다:

$\{M_1, M_2, M_3, M_5\}$ — 크기 4. 이 넷은 서로 오갈 수 있다.
$\{M_4\}$ — 크기 1. 혼자다.

$R \ast R^{\mathsf T}$ 의 블록이 학생을 깔끔하게 분할한다는 것(겹치지도, 남지도 않는다)은 "강하게 연결됨"이 동치관계이기 때문이다 — 자기 자신과 연결되고(반사), $i{\leftrightarrow}j$ 면 $j{\leftrightarrow}i$ 이고(대칭), $i{\leftrightarrow}j$ , $j{\leftrightarrow}k$ 면 $i{\leftrightarrow}k$ 다(추이). 뒤에 나오는 클리크(단원 3단계)와 달리 컴포넌트는 서로 겹칠 수 없다.

7. 약한 컴포넌트 — 방향을 지우고 보기 (Weak Components)

정의. 약한 컴포넌트(weakly connected component)는 화살표 방향을 모두 무시했을 때 서로 연결된 학생의 최대 집합이다. 계산은 단원 1-5의 대칭화(OR 규칙)를 먼저 하고 도달가능성을 구하면 된다: $S = \max(A, A^{\mathsf T})$ 로 바꾼 뒤 $R_w = (I + S + \cdots + S^{n-1}) > 0$ .

M4는 M3에게서 지명을 받았으므로, 방향을 지우면 M3–M4 선이 생긴다. 그러면:

R_w=\begin{array}{c|ccccc} & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5\\ \hline M_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ M_5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

전부 1이므로 약한 컴포넌트는 1개(크기 5)다. 세 지표를 나란히 놓으면:

	약한 컴포넌트	강한 컴포넌트
개수	1	2
크기	5	4, 1
뜻	"방향을 무시하면 반이 한 덩어리다" — 그림이 조각나 있지 않다	"소식이 돌아오는 집단은 넷뿐이다" — M4는 그 순환에서 빠져 있다

강한 ⊆ 약한, 항상. 양방향으로 닿으면 방향을 무시해도 닿으므로, 강한 컴포넌트는 반드시 어떤 약한 컴포넌트 안에 들어간다. 따라서 강한 컴포넌트 개수 ≥ 약한 컴포넌트 개수다. 무방향 네트워크에서는 둘의 구분이 사라져 그냥 "컴포넌트"라 부른다.

8. R 검증 (Verification in R)

library(igraph)
g <- graph_from_adjacency_matrix(A, mode = "directed")

igraph::components(g, mode = "strong")
# $membership  M1 M2 M3 M4 M5
#                1  1  1  2  1     ← M4만 다른 번호
# $csize  4 1
# $no     2

igraph::components(g, mode = "weak")$no    # 1
is_connected(g, mode = "strong")           # FALSE
is_connected(g, mode = "weak")             # TRUE

두 가지 함정. ① sna를 함께 불러오면 components가 가려지므로 igraph::components()로 명시해야 한다(안 하면 "as.edgelist.sna input must be an adjacency matrix…" 에러). ② $membership의 번호 1, 2는 이름표일 뿐 순위나 크기 순이 아니다. 연습문제 2에서는 같은 네트워크 구조인데도 M4가 1번, 나머지가 2번으로 붙는다. 컴포넌트를 크기순으로 보려면 $csize를 따로 정렬할 것.

§2의 정의를 직접 구현해 손 계산과 맞춰 본다:

I <- diag(5)
P <- I; SUM <- I
for (k in 1:4) { P <- P %*% A; SUM <- SUM + P }   # I + A + A^2 + A^3 + A^4
R <- (SUM > 0) * 1
R
#    M1 M2 M3 M4 M5
# M1  1  1  1  1  1
# M2  1  1  1  1  1
# M3  1  1  1  1  1
# M4  0  0  0  1  0
# M5  1  1  1  1  1     ← §4 손 계산과 동일

rowSums(R) - diag(R)      # 4 4 4 0 4   도달 범위
colSums(R) - diag(R)      # 3 3 3 4 3   피도달 범위
R * t(R)                  # 강한 연결 블록 — §6과 동일

# 거리행렬에서 오는 길 (단원 1-6과의 연결)
all( (distances(g, mode="out") < Inf) * 1 == R )   # TRUE

# sna 패키지
library(sna)
reachability(A)                                 # 위 R과 동일
component.dist(A, connected = "strong")$csize   # 4 1
component.dist(A, connected = "weak")$csize     # 5

9. 교실 해석 (Classroom Interpretation)

① 약한 컴포넌트가 2개 이상이면 학급이 쪼개져 있다. 이것이 가장 먼저 확인할 진단이다. 약한 컴포넌트가 여러 개라는 것은 "방향을 무시해도 두 무리 사이에 선이 하나도 없다"는 뜻으로, 서로 완전히 모르는 집단이 공존한다는 강한 신호다(전학생 집단, 남녀 분리, 통학 구역 분리 등). 우리 반은 1개이므로 이 문제는 없다.

② 강한 컴포넌트는 "소식이 돌아오는 집단"이다. $\{M_1,M_2,M_3,M_5\}$ 안에서는 누가 말을 꺼내도 결국 다시 자기에게 돌아온다. 소문이 증폭되고, 서로에 대한 평판이 순환한다. M4는 이 순환 밖에 있어 반의 대화가 M4를 거치지 않고 돌아간다.

③ 도달가능성은 무딘 칼이다. §5에서 봤듯 M1, M2, M3, M5는 도달 범위가 모두 4로 동일하다. "모두에게 닿는다"는 사실만으로는 인기 학생과 그렇지 않은 학생을 구별할 수 없다. 컴포넌트 분석은 학급의 큰 조각을 찾는 데 쓰고, 개별 학생 비교는 중심성으로 해야 한다.

④ 설문 문항이 방향을 결정한다. "같이 놀고 싶은 친구"처럼 일방 지명이 가능한 문항은 방향 네트워크이므로 강한/약한 컴포넌트가 갈린다. 반면 "짝 활동을 함께 한 친구"처럼 사실 관계를 묻는 문항은 본래 무방향이라 컴포넌트가 하나뿐이다. 어떤 컴포넌트를 보고할지는 문항의 성격에서 정해진다.

⑤ 주의 — 컴포넌트는 "무리"가 아니다. 약한 컴포넌트 1개는 "반 전체가 어떻게든 이어져 있다"는 뜻일 뿐, 반 안에 또래 무리가 없다는 뜻이 아니다. 30명 학급은 거의 항상 컴포넌트가 1개로 나오므로 그것만으로는 아무 정보가 없다. 한 덩어리 안에서 촘촘한 부분집단을 찾는 일은 커뮤니티 탐지의 몫이다. → 3단계

10. 연습문제 (Exercises)

문제 1. M4가 M3을 지명했다고 하자( $A[4,3]=1$ 추가). ① 새 $R$ 의 M4 행 다섯 칸을 채우시오 (힌트: M4에서 나가는 길은 모두 M3을 거치므로, 기존 $R$ 의 M3 행을 이용할 수 있다). ② $R \ast R^{\mathsf T}$ 의 M4 행·열은 어떻게 바뀌는가? ③ 강한 컴포넌트는 몇 개가 되는가?

문제 2. 반대로 M3이 M4를 지명하지 않았다고 하자( $A[3,4]=0$ 으로 삭제). ① 새 $R$ 에서 M4 행과 M4 열을 각각 쓰시오. ② 강한 컴포넌트 개수와 약한 컴포넌트 개수는 각각 몇 개인가? ③ 두 개수 중 하나는 변하지 않고 하나만 변한다. 어느 쪽이 변하며, 그 차이가 교실 진단에서 왜 중요한가?

먼저 스스로 풀고 §11 해설과 맞춰 볼 것.

11. 연습문제 해설과 답 (Solutions)

11-1. 문제 1 — M4가 지명을 하면 (Giving M4 an Out-Tie)

① M4 행 채우기. $A[4,3]=1$ 이 유일한 나가는 지명이므로, M4에서 출발하는 모든 길의 첫 걸음은 M3이다. 따라서 "M4가 $j$ 에 닿는다 ⟺ M3이 $j$ 에 닿는다(또는 $j$ 가 M3 자신)". 기존 $R$ 의 M3 행이 전부 1이었으므로 그대로 옮겨진다. 칸마다 근거를 붙여 쓰면:

칸	M4→M3	M3이 $j$ 에 닿는가	새 $R[4,j]$	실제 경로
$[4,1]$	1	$R[3,1]=1$	1	M4→M3→M1
$[4,2]$	1	$R[3,2]=1$	1	M4→M3→M1→M2
$[4,3]$	1	(목적지가 M3 자신)	1	M4→M3
$[4,4]$	—	$R[3,4]=1$ (M3→M4 지명이 살아 있다)	1	M4→M3→M4 — 순환 발생
$[4,5]$	1	$R[3,5]=1$	1	M4→M3→M1→M5

② $R \ast R^{\mathsf T}$ . 새 $R$ 은 25칸이 모두 1이 되었다. 그러면 $R^{\mathsf T}$ 도 전부 1이므로 칸별 곱도 전부 1이다. 특히 §6에서 0이었던 칸들을 다시 확인하면:

칸	$R[i,j]$	$R[j,i]$	곱	바뀐 이유
$[1,4]$	1	1 (전엔 0)	1	M4→M3→M1이 새로 생겼다
$[2,4]$	1	1 (전엔 0)	1	M4→M3→M1→M2
$[3,4]$	1	1 (전엔 0)	1	M4→M3 — 이제 M3·M4가 상호 지명
$[5,4]$	1	1 (전엔 0)	1	M4→M3→M1→M5

답 ① 새 $R$ 의 M4 행 = $(1,1,1,1,1)$ — 즉 $R$ 전체가 1로 가득 찬다. ② $R \ast R^{\mathsf T}$ 의 M4 행·열도 모두 1이 되어 0이 사라진다. ③ 강한 컴포넌트는 1개(크기 5) — 반 전체가 하나의 강한 컴포넌트가 된다 (is_connected(gx, "strong") = TRUE, 단원 1-6 연습문제 2와 같은 결론).

왜 한 줄 추가로 이렇게 바뀌는가: 이미 나머지 넷이 강한 컴포넌트를 이루고 있었고 M4로 들어오는 길도 있었다. 부족한 것은 나가는 길 하나뿐이었다. 연결정도로 말하면 $d_{\text{out}}(4) = 0 \to 1$ 이 된 것이고, 그 한 걸음이 M4를 순환 안으로 끌어들였다.

교실 해석. 소외되어 보이는 학생을 순환에 넣는 데 필요한 것은 "많은 친구"가 아니라 본인이 내보내는 연결 하나일 수 있다. M4는 이미 M3에게 지명을 받고 있었으므로(내향 1), M4가 M3에게 말을 걸 수 있게 되는 것만으로 반의 대화 순환에 들어온다. 개입 설계에서 "누구와 짝을 지어 줄 것인가"보다 "이미 이 학생을 지명한 사람이 누구인가"를 먼저 보는 이유다.

11-2. 문제 2 — M4로 가는 유일한 통로를 끊으면 (Cutting M4's Only In-Tie)

① 새 $R$ 의 M4 행과 열. $A[3,4]$ 가 M4로 들어오는 유일한 지명이었다 (단원 1-4에서 $d_{\text{in}}(4)=1$ ). 이것을 지우면 M4는 나가는 것도 들어오는 것도 없는 완전 고립자가 된다. 행·열을 각각 근거와 함께 쓰면:

방향	M1	M2	M3	M4	M5	근거
M4 행 $R[4,\cdot]$	0	0	0	1	0	$d_{\text{out}}(4)=0$ — 원래부터 나갈 수 없었다 (변화 없음)
M4 열 $R[\cdot,4]$	0	0	0	1	0	$d_{\text{in}}(4)=0$ 이 되어 전원 1 → 전원 0으로 바뀜

(대각선 $R[4,4]=1$ 은 $I$ 를 더했기 때문에 남는다 — §3.)

② 컴포넌트 개수. 두 정의를 각각 적용한다:

	원래	M3→M4 삭제 후	이유
강한 컴포넌트	2개 (4, 1)	2개 (4, 1)	M4는 전에도 혼자였다 — 상호 도달이 없었으므로 이미 별도 컴포넌트
약한 컴포넌트	1개 (5)	2개 (4, 1)	방향을 지웠을 때 M4를 잇던 유일한 선 M3–M4가 사라졌다

답 ① M4 행 = $(0,0,0,1,0)$ , M4 열 = $(0,0,0,1,0)$ . ② 강한 컴포넌트 2개(크기 4, 1) — 변화 없음. 약한 컴포넌트 1개 → 2개(크기 4, 1) — 변화 있음. ③ 약한 컴포넌트만 변한다.

왜 중요한가: 강한 컴포넌트 개수(2)만 보고하면 지명이 하나 사라져 학생이 완전히 떨어져 나간 사건을 전혀 감지할 수 없다. 같은 "2개"가 삭제 전에는 "M4가 순환 밖에 있다"였고, 삭제 후에는 "M4가 반과 단절되었다"를 뜻한다. 두 지표를 함께 봐야 어떤 종류의 고립인지 구별된다: 약한 컴포넌트가 1개면 "받기만 하는 학생", 2개면 "완전 고립 학생"이다.

교실 해석. 삭제 후 M4는 지명하지도, 지명받지도 않는 학생이 된다. 사회성 측정에서 가장 주의해야 하는 유형이며, 밀도(0.35 → 0.30)나 평균거리 같은 전체 요약값은 거의 움직이지 않는다(지명 7개 중 1개가 줄었을 뿐). 학급 수준 지표만 보면 놓치고, 약한 컴포넌트 개수 또는 $R$ 에서 0으로만 채워진 행·열을 확인해야 잡힌다. 학기 중 두 시점의 설문을 비교할 때는 "밀도가 비슷하다"가 아니라 "고립된 학생이 새로 생겼는가"를 먼저 볼 것.

# 문제 1
Ax <- A; Ax["M4","M3"] <- 1
gx <- graph_from_adjacency_matrix(Ax, mode="directed")
Rx <- (distances(gx, mode="out") < Inf) * 1
Rx["M4", ]                              # 1 1 1 1 1  ✓
all(Rx == 1)                            # TRUE  — R 전체가 1
igraph::components(gx, "strong")$no     # 1     ✓

# 문제 2
Ay <- A; Ay["M3","M4"] <- 0
gy <- graph_from_adjacency_matrix(Ay, mode="directed")
Ry <- (distances(gy, mode="out") < Inf) * 1
Ry["M4", ]; Ry[ , "M4"]                 # 0 0 0 1 0 / 0 0 0 1 0  ✓
igraph::components(gy, "strong")$csize  # 1 4   ← 개수 2, 그대로
igraph::components(gy, "weak")$csize    # 4 1   ← 개수 1에서 2로!
sum(Ay) / (5*4)                         # 0.3   ← 밀도는 0.35에서 거의 안 움직인다
igraph::degree(gy, mode="all")          # 5 2 3 0 2  ← M4의 총 연결정도가 0

다음 단원 — 1-8: 무방향(대칭)·가중 네트워크의 행렬 표현. 지금까지 쓴 5명 방향 네트워크를 졸업하고, 2단계(중심성)에서 계속 쓸 7명 무방향 네트워크를 새로 만든다. 여기에는 "다리 역할 학생"이 심어져 있다. · 이 문서: notes/07_단원1-7_도달가능성_강한약한컴포넌트.html