단원 4-3Small Worlds Without Clustering

무작위 그래프는 왜 좁은 세상인가, 그런데 왜 뭉치지 않는가

SNA 이론 · 단계별 학습STAGED+ 스터디

오늘 배우는 것 한 줄 요약
4-1과 4-2에서

G(n,p)

는 계속 틀렸다 — 차수 분산도, 고립자 수도, 거대 컴포넌트 크기도. 오늘은 이 모형이 놀랍도록 잘 맞히는 축을 하나 만난다: 평균 거리다. 가라테의 실제 평균 거리 2.408을 이론

\ln n/\ln\lambda=\mathbf{2.315}

가 거의 그대로 맞힌다.
그런데 같은 모형이 군집계수는 처참하게 틀린다. 이론은

C=p

라고 하는데 가라테는 1.8배, FMH 거대 컴포넌트는 47.6배다.
좁은 세상은 맞히는데 뭉침은 못 맞힌다 — 이 한 문장이 4-4의 Watts–Strogatz 모형을 낳았다.

차례

오늘의 질문: 모형은 축마다 채점된다 (Models Are Graded Axis by Axis)
손 계산 ① 동네가 $\lambda$ 배씩 불어난다 (The Neighborhood Explosion)
공식 $d\approx\ln n/\ln\lambda$ — 왜 로그인가 (Why the Logarithm)
R 검증 ① $n$ 을 1000배 키워도 (Scaling $n$ by 1000)
대조군 — 고리 격자는 $n$ 에 비례한다 (The Ring Lattice)
손 계산 ② $G(n,p)$ 의 군집계수는 정확히 $p$ (Clustering Is Exactly $p$ )
왜 하필 정확히 $p$ 인가 — 한 줄 논증 (The One-Line Argument)
실제 망 대조 — 삼각형을 직접 세어 본다 (Counting Triangles)
무작위화 — 사정권 밖 (Randomization)
두 축 채점표 (The Scorecard)
FMH에서는 거리조차 안 맞는다 (Even Distance Fails in FMH)
모순이 다음 모형을 낳는다 (The Contradiction That Births a New Model)
R 검증 ② (R Verification)
교실 적용 (Classroom Application)
연습문제 (Exercises)
해설과 답 (Solutions)

1. 오늘의 질문: 모형은 축마다 채점된다 (Models Are Graded Axis by Axis)

지금까지의 채점표를 모으면 이렇다.

축	$G(n,p)$ 의 성적	어디서
평균 차수	항등식 — 맞힌 게 아니라 맞춰 넣은 것	4-1 §10
차수 분산	3.8배 과소평가 (가라테)	4-1 §10
고립자 수	139명 과소평가 (FMH)	4-2 §7
거대 컴포넌트	225명 과대평가 (FMH)	4-2 §12
평균 거리	오늘 채점	§2~§4
군집계수	오늘 채점	§6~§9

네 번 연속으로 틀렸으니 "이 모형은 쓸모없다"고 결론 내리고 싶어진다. 그런데 오늘 채점할 두 축에서 정반대의 성적이 나온다. 그리고 바로 그 불균형이 쓸모다 — 모형이 전부 틀리면 아무것도 배울 수 없지만, 하나는 맞고 하나는 틀리면 "틀린 쪽에 무슨 메커니즘이 있다"는 것을 알게 된다.

오늘 다룰 두 축의 정의를 다시 확인 (1단계·3단계에서 이미 배웠다)

지표	정의	묻는 것
평균 거리 $\bar\ell$	모든 짝의 최단 거리 평균 (1-6)	얼마나 멀리 떨어져 있는가
군집계수 $C$	$\dfrac{3\times\text{삼각형 수}}{\text{연결된 삼중쌍 수}}$ (3-2 전이성)	친구의 친구가 내 친구인가

2. 손 계산 ① 동네가 $\lambda$ 배씩 불어난다 (The Neighborhood Explosion)

가라테를 예로 든다. $n=34$ , $m=78$ , $\lambda=2m/n=4.588235$ .

1번 학생에서 출발해 친구를 따라 퍼져 나간다. 4-2 §9의 분지 과정과 같은 셈인데, 이번에는 "죽느냐 사느냐"가 아니라 몇 단계 만에 34명을 다 만나느냐를 묻는다.

단계 $k$	그 단계에서 새로 만나는 인원 $\lambda^k$	누적 인원 $1+\lambda+\cdots+\lambda^k$	$n=34$ 와 비교	왜 그 값인가
0	$\lambda^0=1.000$	1.000	모자람	나 자신 한 명
1	$\lambda^1=4.588$	5.588	모자람	내 친구 — 평균 차수 그 자체
2	$\lambda^2=21.052$	26.640	아직 모자람 (34의 78%)	$4.588^2=21.05$ — 친구의 친구
3	$\lambda^3=96.591$	123.231	넘어섬 (34의 3.6배)	$4.588^3=96.59$ — 여기서 34명을 다 삼킨다
4	$\lambda^4=443.183$	566.414	한참 넘음	34명짜리 망에는 4단계가 존재할 여지가 거의 없다

제곱을 손으로 확인: $4.588235^2=21.0519$ , $21.0519\times4.588235=96.5918$ , $96.5918\times4.588235=443.183$ ✓

표가 말해 주는 것
누적이 34를 넘는 것은 2단계와 3단계 사이다 (2단계 26.6명, 3단계 123.2명). 그러니 "전형적인 두 사람 사이의 거리"는 2와 3 사이여야 한다.
가라테의 실제 평균 거리는 2.408이다 — 정확히 그 구간 안이다.

2-1. 가라테의 실제 거리 분포 — 다섯 항 전부 (The Actual Distance Distribution in Karate)

$\binom{34}{2}=561$ 개의 짝을 거리별로 세면:

거리 $\ell$	짝의 수	비율	$\ell\times$ 짝의 수	읽는 법
1	78	13.9%	78	간선 수 그 자체 (=밀도 0.1390)
2	265	47.2%	530	절반 가까이가 "친구의 친구"
3	137	24.4%	411
4	73	13.0%	292
5	8	1.4%	40	지름 — 561짝 중 8짝뿐
합	561	100%	1351	$=\binom{34}{2}$ ✓

\bar\ell=\frac{78\cdot1+265\cdot2+137\cdot3+73\cdot4+8\cdot5}{561} =\frac{78+530+411+292+40}{561}=\frac{1351}{561}=\boxed{2.4082}

교실 해석 — "두 다리 건너면 다 안다"는 말의 정체
가라테에서 거리 1과 2를 합치면 61.1%다. 즉 아무 두 사람을 골라도 열 번 중 여섯 번은 직접 친구이거나 친구의 친구다. 34명짜리 동아리에서 "두 다리 건너면 다 안다"는 말은 수사가 아니라 산술이다.
학급에서도 같은 표를 만들 수 있다. 그리고 거리 4~5인 짝이 몇 %인가가 "반이 얼마나 갈라져 있는가"를 재는 실전 지표가 된다.

3. 공식 $d\approx\ln n/\ln\lambda$ — 왜 로그인가 (Why the Logarithm)

§2의 표를 식으로 옮긴다. $d$ 단계까지의 누적 인원은 등비수열의 합이다.

1+\lambda+\lambda^2+\cdots+\lambda^{d}=\frac{\lambda^{d+1}-1}{\lambda-1}

$\lambda>1$ 이면 이 합은 마지막 항이 지배한다 (가라테에서 누적 123.2 중 마지막 항이 96.6 — 78%다). 그러니 대충 $\lambda^{d}\approx n$ 이라 두고 양변에 로그를 취한다.

\lambda^{d}\approx n \;\Longrightarrow\; d\ln\lambda\approx\ln n \;\Longrightarrow\; \boxed{\,d\approx\frac{\ln n}{\ln\lambda}\,}

가라테에 넣으면:

d\approx\frac{\ln 34}{\ln 4.588235}=\frac{3.526361}{1.523495}=\boxed{2.3147}

항목	값	비고
이론 $\ln n/\ln\lambda$	2.3147	모형이 예측
실제 평균 거리	2.4082	§2-1에서 손으로 계산
비	1.040	4% 차이 — 오늘까지 나온 것 중 가장 잘 맞는 예측
실제 지름	5	평균이 아니라 최대

로그가 나오는 이유를 한 문장으로
동네가 단계마다 곱셈으로 불어나므로(

\times\lambda

n

명을 다 덮는 데 필요한 단계 수는 덧셈으로만 늘어난다. 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 것이 로그다.
그래서 사람이 백 배 늘어도 거리는 몇 걸음 늘어날 뿐이다 — 이것이 "좁은 세상"(small world)이라는 말의 수학적 내용이다.

이 공식이 대충인 지점 세 곳
①

\lambda>1

이어야 한다 (

\lambda\le1

이면 애초에 망이 이어지지 않는다, 4-2 §11).
② 새로 만나는 사람이 매번 전부 처음 보는 사람이라고 가정했다. 실제로는 이미 만난 사람을 또 만난다(되돌아오는 경로) — 그래서 실제 거리가 이론보다 조금 길다 (2.408 > 2.315).
③ 정확히는

\lambda

대신 초과 차수 평균을 써야 한다 (4-2 §9의 각주와 같은 문제). 푸아송에서는 둘이 같아 넘어갈 수 있다.
세 어림 모두 실제 거리를 짧게 잡는 방향이므로, 이 공식은 하한선으로 쓰는 것이 안전하다.

4. R 검증 ① $n$ 을 1000배 키워도 (Scaling $n$ by 1000)

$\lambda=5$ 를 고정하고 $n$ 만 10 → 10000으로 키운다.

set.seed(101)
for (N in c(10, 100, 1000, 10000)) {
  g <- sample_gnp(N, 5/(N-1))
  cc <- components(g)
  big <- induced_subgraph(g, which(cc$membership == which.max(cc$csize)))
  cat(N, log(N)/log(5), mean_distance(big), diameter(big), max(cc$csize), "\n")
}

$n$	이론 $\ln n/\ln 5$	실측 평균 거리 (최대 컴포넌트)	지름	최대 컴포넌트	읽는 법
10	1.4307	1.4000	2	10	$n$ 이 너무 작아 이론이 실측보다 큼
100	2.8614	3.0741	6	100	7% 차이
1000	4.2920	4.4092	9	993	3% 차이
10000	5.7227	5.8860	11	9938	3% 차이

이 표의 핵심 한 줄

n

이 1000배(10 → 10000) 늘었는데 평균 거리는 1.40에서 5.89로 4.5걸음만 늘었다.
공식으로도

\ln 10000/\ln 5-\ln 10/\ln 5=(\ln 10000-\ln 10)/\ln 5=\ln1000/\ln5=4.29

.
사람 수는 곱셈으로, 거리는 덧셈으로 — 이것이 §3의 로그가 뜻하는 바다.

5. 대조군 — 고리 격자는 $n$ 에 비례한다 (The Ring Lattice)

" $\ln n$ 으로 자란다"가 얼마나 특별한 일인지 보려면 비교 대상이 필요하다. 고리 격자(ring lattice)를 쓴다 — $n$ 명을 원형으로 세우고 양옆 두 명씩과만 손을 잡게 한 망이다 (차수 4, 평균 차수도 4).

sample_smallworld(1, n, nei = 2, p = 0)   # p=0 이면 재배선 없는 순수 격자

격자에서는 지름길이 없다. 반대편 사람에게 가려면 고리를 따라 걸어가야 한다. 한 걸음에 최대 $nei=2$ 칸씩 가고 평균 거리는 대략 $n/(4\,nei)=n/8$ 이다.

$n$	고리 격자 평균 거리	격자 근사 $n/8$	무작위 그래프 ( $\lambda=4$ )	이론 $\ln n/\ln 4$	격자 ÷ 무작위
20	2.895	2.5	2.079	2.161	1.39
50	6.633	6.25	2.863	2.822	2.32
100	12.879	12.5	3.472	3.322	3.71
200	25.377	25	3.816	3.822	6.65
500	62.876	62.5	4.513	4.483	13.93
1000	125.375	125	5.142	4.983	24.38
2000	250.375	250	5.691	5.483	43.99
5000	625.375	625	6.192	6.144	101.00

격자와 무작위 그래프의 거리 성장 — 같은 평균 차수 4인데 **격자는 $n$ 에 비례**(빨강, 로그–로그에서 기울기 1), **무작위는 $\ln n$** (파랑, 거의 평평)으로 자란다. 초록·보라 삼각형이 실제 망 두 개.

같은 간선 수, 정반대의 결과

n=5000

에서 두 망은 간선 수가 똑같이 10000개다. 그런데 격자는 평균 거리 625.4, 무작위는 6.19 — 101배 차이다.
차이를 만드는 것은 간선의 개수가 아니라 어디에 놓였는가다. 격자는 전부 이웃끼리 놓였고, 무작위는 먼 곳으로 건너뛰는 간선을 섞어 놓았다. 몇 개의 지름길이 거리를 100분의 1로 줄인다 — 4-4의 주제가 정확히 이것이다.

교실 해석 — 자리 배치가 곧 격자다
학급에서 짝·모둠으로만 관계가 생기면 그것은 격자에 가깝다. 30명 격자라면 평균 거리가

30/8\approx3.8

이고, 반대편 학생까지는 대여섯 다리다.
반면 동아리·학원·형제자매 같은 자리 배치와 무관한 연결이 몇 개만 있어도 평균 거리는 급격히 줄어든다. 교사가 의도적으로 만드는 "먼 짝짓기"는 학급 전체의 정보 전달 속도를 바꾸는 개입이다.

6. 손 계산 ② $G(n,p)$ 의 군집계수는 정확히 $p$ (Clustering Is Exactly $p$ )

이제 두 번째 축이다. 4-1의 손 계산 예제 $n=5$ , $p=2/5$ 로 돌아간다.

군집계수(전이성)의 정의는 3-2에서 배운 대로다.

C=\frac{3\times(\text{삼각형 수})}{(\text{연결된 삼중쌍 수})}

분자·분모의 기댓값을 각각 세어 본다.

6-1. 분자 — 기대 삼각형 수 (Numerator: Expected Number of Triangles)

삼각형이 되려면 세 사람을 고르고, 그 셋 사이의 세 동전이 모두 앞면이어야 한다.

E[\text{삼각형}]=\binom n3\,p^3

$n=5$ , $p=2/5$ 를 넣고 전부 전개한다.

\binom53=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10,\qquad p^3=\left(\frac25\right)^3=\frac{8}{125}=0.064

E[\text{삼각형}]=10\times0.064=\boxed{0.64}

다섯 명에서 고를 수 있는 삼중쌍 10개를 전부 적으면 $\{1,2,3\}\{1,2,4\}\{1,2,5\}\{1,3,4\}\{1,3,5\}\{1,4,5\}\{2,3,4\}\{2,3,5\}\{2,4,5\}\{3,4,5\}$ — 각각이 삼각형이 될 확률이 0.064이므로 기댓값은 $10\times0.064=0.64$ 개다.

6-2. 분모 — 기대 연결 삼중쌍 수 (Denominator: Expected Connected Triples)

"연결된 삼중쌍"은 가운데 사람을 기준으로 센다. 가운데가 $i$ 일 때, $i$ 의 이웃 후보 $n-1=4$ 명 중 두 명을 고르고 그 두 동전이 모두 앞면이면 된다.

E[\text{연결 삼중쌍}]=n\times\binom{n-1}{2}\times p^2

\binom42=\frac{4\cdot3}{2}=6,\qquad p^2=\left(\frac25\right)^2=\frac{4}{25}=0.16

E[\text{연결 삼중쌍}]=5\times6\times0.16=5\times0.96=\boxed{4.8}

6-3. 나누기 (Dividing)

C=\frac{3\times0.64}{4.8}=\frac{1.92}{4.8}=\boxed{0.4}\;=\;p \;\checkmark

우연이 아니다 — 일반식으로 확인

C=\frac{3\binom n3 p^3}{n\binom{n-1}{2}p^2}

분자·분모의 조합 부분이 같은 수임을 보이면 끝난다.

3\binom n3=3\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2}

n\binom{n-1}{2}=n\cdot\frac{(n-1)(n-2)}{2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2}

둘이 항등적으로 같다.

n=5

로 검산하면

3\times10=30

5\times6=30

✓
그러므로

C=\frac{p^3}{p^2}=\boxed{p}\qquad\text{— }n\text{과 무관하게 정확히 }p.

7. 왜 하필 정확히 $p$ 인가 — 한 줄 논증 (The One-Line Argument)

§6은 세어서 나눴다. 그런데 세지 않고도 답이 나온다.

$i$ – $j$ 가 이어져 있고 $i$ – $k$ 도 이어져 있다고 하자. 그러면 $j$ – $k$ 가 이어져 있을 확률은?

$\{j,k\}$ 의 동전은 $\{i,j\}$ , $\{i,k\}$ 와 다른 동전이고, 모든 동전은 독립이다. 그러니 앞의 두 동전이 앞면이라는 사실은 $\{j,k\}$ 동전에 아무 정보도 주지 않는다.

P(j\!-\!k \mid i\!-\!j,\ i\!-\!k)=P(j\!-\!k)=p

그리고 군집계수란 정확히 이 조건부 확률이다.

두 계산이 미묘하게 다른 점 — §6은

\dfrac{E[3T]}{E[P_2]}

를 계산했는데, 이것은 엄밀히 말해

E\!\left[\dfrac{3T}{P_2}\right]

와 같지 않다 (분수의 기댓값 ≠ 기댓값의 분수).
§7의 조건부 확률 논증이 정확한 쪽이고, §6은 큰

n

에서 그것과 일치하는 어림이다. 그래서

n=200

p=0.1

의 몬테카를로에서 평균

C=0.09997

이 나온다 — 0.1에 사실상 일치. 실전에서 둘의 차이는 무시해도 되지만, 왜 $C=p$ 인지 설명할 때는 §7을 쓰는 게 정직하다.

이 논증이 드러내는 것 — 모형의 결정적 한계

C=p

는 $G(n,p)$ 에 "친구의 친구와 친해진다"는 메커니즘이 아예 없다는 사실의 다른 표현이다. 동전이 독립이라는 가정이 곧 "관계는 서로를 모른다"는 뜻이기 때문이다.
그리고 여기서 치명적인 따름정리가 나온다. 큰 망에서는

p

가 작다:

p=\frac{\lambda}{n-1}\ \longrightarrow\ 0 \quad(n\to\infty)

즉 $G(n,p)$ 에서 큰 망은 반드시 뭉치지 않는다. 평균 차수를 그대로 두고 사람 수만 늘리면 군집계수는 0으로 간다.
FMH(

n=1461

)에서

p=0.000913

— 모형은 군집계수가 0.09%라고 예측한다.

8. 실제 망 대조 — 삼각형을 직접 세어 본다 (Counting Triangles)

모형은 $C=p$ 라고 했다. 실제는?

망	$n$	$m$	모형 예측 $C=p$	실제 $C$ (전이성)	비	실제 $C_{\text{local}}$ (평균)	비
가라테	34	78	0.139037	0.2557	1.8배	0.5879	4.2배
FMH 거대 컴포넌트	439	573	0.005960	0.2840	47.6배	0.2618	43.9배
FMH 전체	1461	974	0.000913	0.2784	304.9배	0.2685	294.0배

예측 C=p와 실제 군집계수 — 세로축이 **로그 눈금**임에 주의. 파랑이 예측 $C=p$ , 빨강이 실제. $n$ 이 커질수록 예측은 바닥으로 내려가는데 **실제는 0.26~0.28에 머문다**.

8-1. 왜 $n$ 이 클수록 배수가 커지는가 (Why the Ratio Grows with n)

표에서 배수가 1.8 → 47.6 → 304.9로 폭발한다. 이유는 §7의 따름정리다.

망	예측 $C=p$	실제 $C$	읽는 법
가라테	0.139	0.256	예측이 내려가고 실제는 가만히 있다
FMH 거대	0.006	0.284	↓ 23분의 1
FMH 전체	0.0009	0.278	↓ 152분의 1 — 실제는 그대로

실제 군집계수는 세 망에서 0.256, 0.284, 0.278로 거의 같다. 사람 수가 34명에서 1461명으로 43배가 되어도 "친구의 친구가 내 친구일 확률"은 4분의 1 언저리다. 모형은 이 값이 43분의 1로 줄어야 한다고 말한다. 정확히 여기서 갈라진다.

8-2. 분자와 분모를 따로 — 어느 쪽이 문제인가 (Numerator and Denominator Separately)

$C$ 는 분수이므로 "삼각형이 많아서"인지 "삼중쌍이 적어서"인지 나눠 봐야 한다. 가라테를 실제로 세어 본다.

항목	실제	모형 기대	비	왜 그 값인가
삼각형 수 $T$	45	$\binom{34}{3}p^3=16.08$	2.80배	$\binom{34}{3}=5984$ , $p^3=0.002688$
연결 삼중쌍 $P_2$	528	$34\binom{33}{2}p^2=347.04$	1.52배	$\binom{33}{2}=528$ , $p^2=0.019331$ 차수 분산이 커서 삼중쌍도 많다 (4-1 §10)
$C=3T/P_2$	$\frac{135}{528}=0.2557$	0.139037	1.84배	$2.80\div1.52=1.84$ ✓ — 두 비의 나눗셈

이 표가 중요한 이유
군집계수가 1.8배라는 말은 삼각형이 1.8배라는 뜻이 아니다. 삼각형은 2.8배고 삼중쌍도 1.5배인데, 그 나눗셈이 1.84다.
삼중쌍이 1.5배인 것은 차수 분산이 크기 때문이다 (

P_2=\sum_i\binom{d_i}2

는 차수가 불균등할수록 커진다 — 차수 17인 34번 학생 혼자서

\binom{17}{2}=136

개를 만든다). 즉 4-1에서 본 차수 분산 문제가 여기서도 분모를 밀어 올린다.
그런데 분자가 더 많이 오른다 — 그것이 삼각형이라는 별개의 메커니즘이다.

FMH도 같은 방식으로 세면 훨씬 극단적이다.

망	실제 삼각형	모형 기대 $\binom n3p^3$	비
FMH 거대 컴포넌트	131	2.96	44.2배
FMH 전체	169	0.395	427.8배

FMH 전체에서 모형은 삼각형이 0.4개 있으리라 예측한다 — 즉 "이런 학교 두세 곳에 하나 있을까 말까"다. 실제는 169개다.

9. 무작위화 — 사정권 밖 (Randomization)

4-1·4-2에서 그랬듯 같은 $n,m$ 의 무작위 그래프를 여러 개 만들어 확인한다.

set.seed(103)
tk <- replicate(1000, transitivity(sample_gnm(34, 78)))       # 가라테 크기
set.seed(104)
tf <- replicate(200,  transitivity(sample_gnm(439, 573)))      # FMH 거대 컴포넌트 크기

망	표본 수	무작위 평균	표준편차	관측 범위	실제	$z$	실제 이상인 무작위 표본
가라테	1000	0.135228	0.030152	0.046875 ~ 0.244094	0.255682	+3.99	0 / 1000
FMH 거대	200	0.005888	0.003475	0 ~ 0.017740	0.283960	+80.0	0 / 200

두 줄로 읽는 법
가라테: 1000번 던져 가장 뭉친 무작위 그래프가 0.2441이었다. 실제는 0.2557 — 1000개 전부를 넘어선다. 다만

z=+4.0

으로 "압도적"까지는 아니다 (

n=34

에서는 무작위 표본끼리의 흔들림도 크다: 0.047~0.244).
FMH 거대 컴포넌트: 무작위 평균이 0.0059인데 실제는 0.2840 — $z=+80$ 이다. 200개 중 최대가 0.0177로, 실제의 16분의 1에 그친다.
망이 클수록 이 어긋남은 커지기만 한다 — §7의 따름정리 그대로다.

무작위 평균이 $p$ 와 살짝 다른 이유
가라테 크기에서 무작위 평균은 0.135228인데

p=0.139037

이다 (2.7% 낮다). FMH 거대 크기에서도 0.005888 대 0.005960이다.
이것은 오차가 아니라 §7의 warn 박스에서 말한 것 — $E[3T/P_2]\ne E[3T]/E[P_2]$ — 과

G(n,m)

이 간선 수를 고정한다는 점이 합쳐진 작은 유한 크기 효과다. $n$ 이 크면 사라진다. 결론에는 영향이 없다.

10. 두 축 채점표 (The Scorecard)

오늘의 결론을 한 표로 모은다.

	평균 거리 축			군집계수 축
망	실제	이론 $\ln n/\ln\lambda$	비	실제	이론 $p$	비
가라테 (실제)	2.4082	2.3147	1.04	0.2557	0.139037	1.84
같은 크기 무작위	2.2784	2.3147	0.98	0.1399	0.139037	1.01
FMH 거대 (실제)	16.8773	6.3411	2.66	0.2840	0.005960	47.6
같은 크기 무작위	6.1559	6.3411	0.97	0.0081	0.005960	1.36

표를 읽는 순서
① 무작위 줄부터 본다 — 두 무작위 줄 모두 거리 비가 0.97~0.98, 군집 비가 1.01~1.36이다. 이론이 자기 모형에 대해서는 정확하다는 확인이다 (이론이 틀린 게 아니라는 뜻).
② 가라테 실제 줄 — 거리는 1.04로 맞고, 군집은 1.84로 틀렸다. 이것이 오늘의 제목이다: 좁은 세상인데 뭉쳐 있다.
③ FMH 거대 줄 — 군집이 47.6배로 크게 틀렸고, 그런데 거리마저 2.66배로 틀렸다. 여기는 이야기가 다르다 (§11).

11. FMH에서는 거리조차 안 맞는다 (Even Distance Fails in FMH)

가라테에서 4% 오차로 맞던 거리 공식이 FMH 거대 컴포넌트에서는 2.66배로 빗나간다.

항목	FMH 거대 컴포넌트 (실제)	같은 $n,m$ 의 무작위	비
$n$	439	439	—
$m$	573	573	—
$\lambda$	2.6105	2.6105	—
평균 거리	16.877	6.156	2.74배
지름	40	14	2.86배
군집계수	0.2840	0.0081	35배

두 실패는 같은 원인이다
FMH 거대 컴포넌트는 439명이 사슬처럼 길게 이어진 모양이다 (지름 40!). 왜 그런가? 간선이 삼각형으로 겹쳐 놓이면 연결에 낭비가 생기기 때문이다.
삼각형 하나에는 간선이 3개 들어가는데, 세 사람을 잇는 데는 2개면 충분하다. 세 번째 간선은 거리를 전혀 줄이지 못한다 (이미 거리 1이던 두 사람 사이).
FMH 거대 컴포넌트의 삼각형 131개 × 낭비되는 간선 1개 ≈ 573개 중 130개 가까이가 거리 단축에 기여하지 않는다. 그만큼 망이 길어진다.
그러므로 4-2 §12에서 미뤄 둔 질문 — "거대 컴포넌트가 왜 예측의 66%인가" — 의 답도 같다: 삼각형에 낭비된 간선은 새 사람을 덩어리에 끌어들이지도 못한다.

가라테와 FMH가 갈리는 지점
가라테도 군집계수가 1.8배로 높은데 왜 거리는 맞았는가?
$n$ 이 작아서다.

n=34

에서는 이론 거리가 2.31로 이미 지름의 절반쯤이라 "길어질 여지"가 없다. 실제 지름이 5이니 평균이 2.41에서 크게 벗어날 수 없다.

n=439

에서는 다르다. 이론 6.34에서 실제 16.88까지 벌어질 공간이 충분하다. 망이 클수록 뭉침의 효과가 거리로 새어 나온다.

12. 모순이 다음 모형을 낳는다 (The Contradiction That Births a New Model)

§5의 표와 §8의 표를 겹쳐 놓으면 딜레마가 보인다.

모형	평균 거리	군집계수	판정
고리 격자	$n/8$ — 너무 김	0.5 — 높음 ✓	뭉침은 맞고 거리는 틀림
무작위 $G(n,p)$	$\ln n/\ln\lambda$ — 짧음 ✓	$p\to0$ — 너무 낮음	거리는 맞고 뭉침은 틀림
실제 사회망	짧다	높다	둘 다여야 한다

$n=100$ , 평균 차수 4로 구체적인 숫자를 넣어 보면 딜레마가 선명해진다 (§16 연습문제 1에서 직접 계산한다).

	고리 격자	무작위	실제 사회망이 원하는 것
평균 거리	12.88	3.47	짧게 → 무작위 쪽
군집계수	0.500	0.040	높게 → 격자 쪽
삼각형 수	100	10.7	많게 → 격자 쪽

4-4의 착상을 미리 한 문장으로
"격자에서 출발해서 간선 몇 개만 무작위로 다시 이으면 어떻게 될까?"
직관적으로는 둘 사이의 중간이 나올 것 같지만, 실제로는 그렇지 않다. 거리는 몇 개만 다시 이어도 확 줄고, 군집계수는 한참을 다시 이어도 잘 안 준다. 그 속도 차이 덕분에 거리는 무작위급, 뭉침은 격자급인 구간이 생긴다 — Watts–Strogatz의 좁은 세상 구간이다.

13. R 검증 ② (R Verification)

13-1. $C=p$ 를 몬테카를로로 (Checking C = p by Monte Carlo)

set.seed(102)
mean(replicate(300, transitivity(sample_gnp(200, 0.1))))
# 0.09997305   -> p = 0.1 과 소수 넷째 자리까지 일치

13-2. 실제 망의 두 지표 (Two Measures on Real Networks)

kel <- as.matrix(read.table("karate_net.txt"))
gk  <- add_edges(simplify(graph_from_edgelist(kel, directed=FALSE)), c(9,31))
data(faux.magnolia.high); G <- asIgraph(faux.magnolia.high)
gc <- induced_subgraph(G, which(components(G)$membership == which.max(components(G)$csize)))

c(거리 = mean_distance(gk), 이론 = log(34)/log(2*78/34))    # 2.4082  2.3147
c(군집 = transitivity(gk), 이론 = 78/choose(34,2))           # 0.2557  0.1390
c(거리 = mean_distance(gc), 이론 = log(439)/log(2*573/439))  # 16.8773  6.3411
c(군집 = transitivity(gc), 이론 = 573/choose(439,2))         # 0.2840  0.0060

13-3. 삼각형과 삼중쌍을 직접 세기 (Counting Triangles and Triples Directly)

sum(count_triangles(gk)) / 3        # 45   (각 삼각형이 세 점에서 세어지므로 /3)
sum(choose(igraph::degree(gk), 2))  # 528  (연결 삼중쌍 = 가운데점 기준 이웃 쌍의 합)
3 * 45 / 528                        # 0.2556818 = transitivity(gk)  ✓

transitivity(g)와 transitivity(g, type="average")는 다른 지표다
앞은 전역 전이성

3T/P_2

— 망 전체에서 삼각형 하나를 세는 비율.
뒤는 국소 군집계수의 평균 — 사람마다

C_i

를 재고 평균 낸 것.
가라테에서 0.2557 대 0.5879로 두 배 넘게 차이 난다. 왜인가? 국소 평균은 차수가 작은 사람에게 큰 가중치를 준다 (차수 2인 사람은 이웃 쌍이 1개뿐이라

C_i

가 0 아니면 1이다). 가라테에는 차수 2인 학생이 11명 있고 그들 상당수가

C_i=1

이다.
보고서에는 반드시 어느 쪽인지 밝혀야 한다. 이 노트에서는 별도 표기가 없으면 전역이다.

13-4. 무작위화 (Randomization)

set.seed(103); tk <- replicate(1000, transitivity(sample_gnm(34, 78)))
c(평균 = mean(tk), sd = sd(tk), 최대 = max(tk), 실제 = transitivity(gk))
#     평균        sd      최대      실제
#  0.135228  0.030152  0.244094  0.255682
mean(tk >= transitivity(gk))        # 0

14. 교실 적용 (Classroom Application)

① 학급의 평균 거리는 계산해서 기대치를 먼저 잡는다
30명 학급에 간선 60개면

\lambda=4

, 이론 거리는

\ln30/\ln4=2.45

다. 실제로 재서 2.4~2.6이면 정상, 3.5를 넘으면 반이 갈라져 있다는 신호다.
그리고 이 계산은 1분이면 된다 — 인원과 간선 수만 있으면 된다.

② 군집계수는 $p$ 와 비교해야 뜻이 생긴다
"우리 반 군집계수 0.35"는 그 자체로 크지도 작지도 않다. 같은 학급에서

p=60/435=0.138

이므로 2.5배다. 학급 데이터에서 2~3배는 흔하고, 5배를 넘으면 강한 소집단 구조다.
그리고 반드시 기억할 것: 인원이 많은 집단일수록 이 배수는 저절로 커진다 (FMH 전체에서 305배). 학년끼리, 학급끼리 비교하고 서로 다른 규모를 배수로 비교하지 말 것.

③ 삼각형은 좋은 것이면서 나쁜 것이다
삼각형(세 명이 서로 친구)은 관계의 안정성을 뜻한다 — 한 명과 틀어져도 다른 경로가 있다. 동시에 §11에서 본 대로 삼각형에 쓰인 세 번째 간선은 거리를 줄이지 못한다.
그러므로 삼각형이 많은데 평균 거리도 짧은 학급이 가장 건강하다. 삼각형만 많고 거리가 길면 끼리끼리 뭉친 여러 조각이라는 뜻이다. 두 지표를 반드시 함께 볼 것 — 이것이 오늘 배운 "두 축" 사고의 실전 형태다.

④ 지름길 몇 개가 판을 바꾼다
§5에서

n=5000

격자와 무작위의 거리 차가 101배였다. 학급 규모로 옮기면: 모둠 안에서만 관계가 생기는 반과 모둠을 건너뛰는 관계가 몇 개 있는 반은 평균 거리가 크게 다르다.
개입 방법은 단순하다 — 모둠을 주기적으로 새로 짜되, 이전 모둠원과 겹치지 않게 짜는 것. 이것이 바로 "무작위 재배선"이고, 4-4에서 그 효과를 정량화한다.

⑤ 이 모든 지표는 "누구"를 알려 주지 않는다
평균 거리 2.4, 군집계수 0.35 — 전부 반 전체를 요약한 한 숫자다. 개별 학생에게 개입하려면 2단계의 중심성(누가 중심인가)과 3단계의 커뮤니티 탐지(누가 어느 무리인가)로 내려가야 한다.
4단계의 모형은 "우리 반이 정상 범위인가"를 판정하는 데 쓰고, "누구를 어떻게 도울까"는 2·3단계 도구로 답하는 것 — 이 분업을 기억해 둘 것.

15. 연습문제 (Exercises)

연습문제 1 — 100명 격자 vs 100명 무작위
100명을 원형으로 세우고 양옆 두 명씩과 이었다 (고리 격자,

nei=2

간선 수 $m$ 과 평균 차수는? 밀도 $p$ 는?
이 격자의 군집계수를 손으로 구하라. (힌트: 한 사람의 이웃 4명 중 서로 이어진 쌍이 몇 개인지 직접 세어라. 이웃은 나보다 2칸 왼쪽·1칸 왼쪽·1칸 오른쪽·2칸 오른쪽이다.)
격자의 평균 거리는 대략 얼마인가? 같은 $n,m$ 의 무작위 그래프는? 두 값의 비는?
무작위 그래프의 기대 삼각형 수를 구하고, 격자의 삼각형 수(100개)와 비교하라.
이 두 망 중 어느 쪽도 실제 사회망이 아니다. 각각 무엇이 문제인가?

§16 해설 — 먼저 풀고 맞춰 볼 것.

연습문제 2 — 30명 학급 채점하기
30명 학급에서 교우관계를 조사했더니 간선 60개가 나왔고, 평균 거리 2.6, 군집계수 0.35였다.

$p$ 와 $\lambda$ 를 구하고, 동네가 불어나는 표( $k=0$ ~3)를 만들어 거리가 대략 몇 단계여야 하는지 어림하라.
이론 거리 $\ln n/\ln\lambda$ 를 구하고 실제 2.6과 비교하라. 거리 축은 합격인가?
이론 군집계수와 실제 0.35를 비교하라. 군집 축은 합격인가?
같은 $n,m$ 의 무작위 그래프 1000개를 만들면 평균 거리 2.481(표준편차 0.075), 군집계수 0.1348(표준편차 0.0364)이 나온다. 두 축의 $z$ 점수를 구하고 어느 쪽이 결정적인 증거인지 판단하라.
실제 삼각형 수는 대략 몇 개일 것 같은가? 무작위 기대치와 비교하라. (연결 삼중쌍은 기대치 231.7과 비슷하다고 가정)
이 학급에 대해 교사에게 무엇이라고 보고하겠는가? — 두 축을 나눠서.

§16 해설 — 먼저 풀고 맞춰 볼 것.

16. 해설과 답 (Solutions)

연습문제 1 해설 (Solution to Exercise 1)

(1) 무엇을 세는가 — 고리 격자에서 각자 양옆 두 명씩, 총 4명과 이어진다.

\bar d=2\times nei=2\times2=4,\qquad m=\frac{n\bar d}{2}=\frac{100\times4}{2}=\boxed{200}

\binom{100}{2}=\frac{100\cdot99}{2}=4950,\qquad p=\frac{200}{4950}=\frac{4}{99}=\boxed{0.040404}

답 (1)

m=200

, 평균 차수 4,

p=4/99=0.040404

.
검산:

(n-1)p=99\times\frac{4}{99}=4

✓ — 4-1의 항등식 그대로다.

(2) 격자의 군집계수 — 이웃 쌍을 전부 세기
5번 학생을 예로 든다. 이웃은 3, 4, 6, 7번이다. 이 넷에서 만들 수 있는 쌍은 $\binom42=6$ 개. 여섯 쌍 전부 확인한다 (두 사람이 이어져 있으려면 번호 차가 1 또는 2여야 한다).

쌍	번호 차	이어져 있나?	왜 그런가
$\{3,4\}$	1	O	바로 옆
$\{3,6\}$	3	X	3칸 — 격자에서는 안 이어짐
$\{3,7\}$	4	X	4칸
$\{4,6\}$	2	O	2칸 — $nei=2$ 이므로 이어짐
$\{4,7\}$	3	X	3칸
$\{6,7\}$	1	O	바로 옆
이어진 쌍		3 / 6	$C_i=3/6=0.5$

모든 학생이 대칭이므로 전원 $C_i=0.5$ 이고, 따라서 전역 군집계수도 0.5다.

C_{\text{격자}}=\frac{3}{6}=\boxed{0.5}

공식으로도 — 차수 $k=2\,nei$ 인 고리 격자의 군집계수는

C=\frac{3(k-2)}{4(k-1)}=\frac{3(4-2)}{4(4-1)}=\frac{6}{12}=0.5\;\checkmark

답 (2)

C=0.5

. 무작위 예측

p=0.0404

의 12.4배다.
값의 의미: 격자에서는 내 이웃 넷 중 세 쌍이 서로 친구다. "친구의 친구는 대개 내 친구"라는 실제 사회망의 성질을 격자는 잘 재현한다.

(3) 두 망의 평균 거리

격자: 한 걸음에 최대 2칸 가고, 고리의 반대편까지 최대 50칸이므로

\bar\ell_{\text{격자}}\approx\frac{n}{4\,nei}=\frac{100}{8}=12.5 \qquad(\text{실측 }12.879)

무작위: $\lambda=4$ 이므로

\bar\ell_{\text{무작위}}\approx\frac{\ln 100}{\ln 4}=\frac{4.60517}{1.38629}=3.3219 \qquad(\text{실측 300회 평균 }3.4004)

망	이론	실측	읽는 법
고리 격자	12.5	12.879	이론이 3% 낮음 (끝 보정)
무작위	3.3219	3.4004	이론이 2% 낮음 (§3의 되돌아오는 경로)
비	3.76	3.79	격자가 약 3.8배 멀다

답 (3) 격자 약 12.9, 무작위 약 3.4 — 3.8배 차이.
값의 의미: 간선 수가 똑같이 200개인데도 이렇다. 그리고 이 배수는

n

이 커질수록 벌어진다 (§5 표에서

n=5000

이면 101배).

(4) 삼각형 수

E[T_{\text{무작위}}]=\binom{100}{3}p^3=161700\times\left(\frac{4}{99}\right)^3 =161700\times 0.00006597=\boxed{10.67}

격자의 삼각형은 직접 셀 수 있다. 학생 $i$ 를 왼쪽 끝으로 하는 삼각형은 $\{i,i{+}1,i{+}2\}$ 하나뿐이고(다른 조합은 번호 차 3 이상이 생겨 끊긴다), $i$ 가 1부터 100까지 도니 정확히 100개다.

항목	고리 격자	무작위	비	왜 그 값인가
삼각형 수	100	10.67	9.4배	격자는 이웃끼리 겹쳐 놓아 삼각형이 저절로 생긴다
연결 삼중쌍	$100\times\binom42=600$	$100\binom{99}{2}p^2=792$	0.76배	무작위는 차수가 들쭉날쭉해 삼중쌍이 더 많다
$C=3T/P_2$	$300/600=0.5$	$32/792=0.0404$	12.4배	$9.4\div0.76=12.4$ ✓

답 (4) 무작위 기대 10.7개, 격자 100개 — 9.4배.
값의 의미: 무작위 그래프에서 삼각형은 사고로 생긴다(200개 간선이 우연히 세 개씩 맞물려서). 격자에서는 구조적으로 생긴다. 실제 사회망의 삼각형도 사고가 아니라 "친구가 친구를 소개한다"는 메커니즘의 산물이며, 그래서

G(n,p)

가 못 맞히는 것이다.

(5) 둘 다 실제 사회망이 아닌 이유

답 (5)

망	잘하는 것	못하는 것
고리 격자	군집계수 0.5 — 실제 사회망(0.25~0.30)보다도 높다	평균 거리 12.9 — 100명짜리 집단에서 "13다리 건너"는 터무니없다. 지름길이 하나도 없다
무작위	평균 거리 3.4 — 실제와 맞는 규모	군집계수 0.040 — 실제(0.25~0.35)의 8분의 1. 친구의 친구가 내 친구가 아니다

한 문장으로: 격자는 지역성만 있고 지름길이 없고, 무작위는 지름길만 있고 지역성이 없다. 실제 사회망은 둘 다 가지고 있다 — 그래서 두 모형을 섞어야 한다.

교실 해석 — 학급의 관계 구조는 이 두 극단 사이 어딘가에 있다. "모둠 안에서만 친한 반"은 격자 쪽, "누구랑도 두루 지내는데 깊은 친구는 없는 반"은 무작위 쪽이다. 어느 쪽 극단도 바람직하지 않다 — 전자는 소집단 간 벽이 높고, 후자는 관계의 안정성(삼각형)이 없다. 교사가 목표할 것은 "뭉치되 벽은 없는" 중간 지대이고, 그 지대의 이름이 다음 단원의 좁은 세상이다.

연습문제 2 해설 (Solution to Exercise 2)

(1) $p$ , $\lambda$ , 동네 표

\binom{30}{2}=435,\qquad p=\frac{60}{435}=\frac{4}{29}=0.137931,\qquad \lambda=\frac{2\times60}{30}=4

단계 $k$	새로 만나는 인원 $4^k$	누적	$n=30$ 과 비교	읽는 법
0	1	1	모자람	나
1	4	5	모자람	내 친구 4명
2	16	21	아직 모자람 (30의 70%)	친구의 친구
3	64	85	넘어섬 (30의 2.8배)	여기서 30명을 다 삼킨다

답 (1)

p=4/29=0.137931

\lambda=4

. 누적이 30을 넘는 것은 2단계와 3단계 사이이므로 전형적인 거리는 2와 3 사이여야 한다 — 실제 2.6과 부합한다.

(2) 거리 축 채점

\bar\ell_{\text{이론}}=\frac{\ln 30}{\ln 4}=\frac{3.401197}{1.386294}=\boxed{2.4534}

\frac{2.6}{2.4534}=\boxed{1.060}

답 (2) 이론 2.453, 실제 2.6 — 1.06배. 거리 축: 합격.
6% 초과는 §3에서 예고한 "되돌아오는 경로 때문에 실제가 조금 길다"는 방향과 일치하고, 가라테의 1.04와 거의 같은 급이다.

(3) 군집 축 채점

C_{\text{이론}}=p=0.137931,\qquad \frac{0.35}{0.137931}=\boxed{2.5375\ \text{배}}

답 (3) 이론 0.1379, 실제 0.35 — 2.54배. 군집 축: 불합격.
가라테(1.84배)보다도 강하게 뭉쳐 있다.

(4) 두 축의 $z$ 점수 — 무작위화 결과와 대조한다.

z_{\text{거리}}=\frac{2.6-2.4814}{0.0750}=\boxed{+1.58}

z_{\text{군집}}=\frac{0.35-0.1348}{0.0364}=\boxed{+5.91}

축	실제	무작위 평균	표준편차	$z$	실제 이상인 무작위 표본	판정
평균 거리	2.6	2.4814	0.0750	+1.58	46 / 1000 (4.6%)	증거로 부족 — 1000번 중 46번은 우연히 이만큼 멀다
군집계수	0.35	0.1348	0.0364	+5.91	0 / 1000	결정적 — 1000개 중 최대가 0.2471

답 (4) 군집 축이 결정적 증거다.
거리 축의

z=+1.58

은 흔히 쓰는 기준(

|z|>2

)에 못 미친다 — "2.6이 이론 2.45보다 6% 크다"는 것만으로는 아무 주장도 할 수 없다.
군집 축의

z=+5.91

은 1000번의 무작위화가 단 한 번도 도달하지 못한 값이다. 배수(1.06 대 2.54)만 봐도 알 수 있지만, $z$ 로 확인해야 보고할 수 있다.

(5) 삼각형 수 어림 — $C=3T/P_2$ 를 $T$ 에 대해 푼다.

E[P_2]=n\binom{n-1}{2}p^2=30\times\binom{29}{2}\times\left(\frac{4}{29}\right)^2 =30\times406\times0.019025=231.72

T=\frac{C\times P_2}{3}=\frac{0.35\times231.72}{3}=\frac{81.10}{3}=\boxed{27.0\ \text{개}}

무작위 기대치와 비교한다.

E[T_{\text{무작위}}]=\binom{30}{3}p^3=4060\times\left(\frac{4}{29}\right)^3 =4060\times0.0026241=\boxed{10.65\ \text{개}}

항목	실제(추정)	무작위 기대	비	비고
삼각형 수	27.0	10.65	2.54배	무작위 1000회 실측 평균 10.32, 범위 2~22 — 27은 그 밖
연결 삼중쌍	231.7 (가정)	231.72	1.00	가정에 의해 같음

답 (5) 약 27개. 무작위 기대 10.65개의 2.5배다.
값의 의미: 서로 셋이 다 친한 삼총사가 약 27쌍 있다는 뜻이다. 무작위라면 10~11쌍이어야 하고, 실제로 무작위 1000회에서 최대가 22개였다. 27개는 그 범위 밖이다.
주의: 이 27은 "연결 삼중쌍이 기대치와 같다"는 가정 위의 추정이다. 가라테에서는 삼중쌍이 기대치의 1.52배였으므로(§8-2), 차수 분산이 큰 학급이면 실제 삼각형은 이보다 더 많다. 정확한 값은 sum(count_triangles(g))/3으로 직접 세면 된다.

(6) 보고 — 두 축을 반드시 나눈다.

답 (6) 보고문 예시
거리 축 — 정상 범위
평균 거리 2.6은 같은 규모·같은 친구 수의 무작위 학급(2.48)과 통계적으로 구별되지 않습니다 (

z=+1.58

, 1000번 중 46번은 우연히 이 정도로 멉니다). 학급 안에서 정보나 소식은 두세 다리면 전달됩니다. 거리 4 이상으로 떨어진 학생 짝이 몇 %인지만 추가로 확인하면 충분합니다.

군집 축 — 명확한 소집단 구조
군집계수 0.35는 무작위 기대(0.135)의 2.5배이며, 무작위화 1000회 중 단 한 번도 도달하지 못한 값입니다 (

z=+5.91

). 삼각형(셋이 서로 친한 조합)이 27쌍 안팎으로 추정되는데 무작위라면 10~11쌍입니다. 이 학급에는 뚜렷한 또래 무리가 있습니다.

두 축을 합쳐 읽으면
"뭉쳐 있으나 갈라지지는 않았다" — 무리는 분명히 있는데 무리 사이를 잇는 다리가 충분해서 반 전체는 여전히 하나로 돌아갑니다. 이것은 대체로 건강한 상태입니다 (§14-③).
주의할 것은 무리에 속하지 않은 학생입니다. 전체 지표는 정상인데 개인 단위로는 소외가 있을 수 있으므로, 차수 0~1인 학생 명단과 국소 군집계수 $C_i=0$ 인 학생 명단을 별도로 뽑아 2-3 매개 중심성과 함께 볼 것을 권합니다.

교실 해석 — 오늘의 절차를 세 줄로
① 인원

n

과 간선 수

m

에서

\lambda=2m/n

과

p=m/\binom n2

를 구한다.
② 거리는 $\ln n/\ln\lambda$ 와, 군집은 $p$ 와 각각 비교한다.
③ 거리가 맞고 군집만 높으면 "건강하게 뭉친 반", 둘 다 어긋나면(거리도 길고 군집도 높으면) "갈라진 반"이다 — 후자가 FMH 거대 컴포넌트의 모습이었다 (거리 2.7배, 군집 47.6배, §11).

다음 단원 예고 — 4-4에서는 §12의 딜레마를 정면으로 푼다. 고리 격자에서 출발해 간선을 확률 $p_{\text{rewire}}$ 로 하나씩 다시 이으면 거리와 군집계수가 전혀 다른 속도로 무너진다. 간선의 1%만 다시 이어도 거리는 거의 무작위급이 되는데, 군집계수는 $C(0)(1-p)^3$ 으로 아주 천천히 준다. 그 속도 차이가 만드는 구간이 Watts–Strogatz의 좁은 세상이고, 가라테와 FMH가 그 구간의 어디쯤에 있는지를 좌표로 찍어 본다.