모형 고르기 — 노화와 산불, 그리고 로그로그의 착각

1. 오늘의 질문: 넷 중에 무엇을 쓸 것인가 (Which Model Do We Use?)

지금까지 배운 모형을 한 줄씩 정리하면 이렇다.

표만 보면 "산불 모형이 제일 낫네"로 읽힌다. 하지만 그건 아직 이르다. 오늘 볼 것은 세 가지다.

1. 채점을 공정하게 하는 법 — 간선 수가 다른 모형끼리 군집계수를 비교하면 안 된다(§11).
2. 흔한 오독을 깨는 법 — 로그로그 직선은 거듭제곱의 증거가 아니다(§3~§5).
3. 모형을 고르는 기준 — "가장 잘 맞는 모형"이 아니라 "내가 묻는 축에서 맞는 모형"(§13).

2. 채점표라는 생각 — 모형은 축마다 채점된다 (Scoring a Model Axis by Axis)

4-1 §12에서 이미 한 번 말한 것을 정식화한다. 모형을 채점한다는 것은 다음을 하는 것이다.

$z$가 크다는 것이 곧 "모형이 나쁘다"는 뜻은 아니다. $z$가 크다는 것은 "이 축에서 실제가 모형 밖에 있다"는 뜻이고, 그건 곧 여기에 설명해야 할 무언가가 있다는 신호다. 4-8에서 이 신호를 본격적으로 쓴다.

3. 손 계산 ① 지수 분포를 로그로그에 그려 보기 (The Log-Log Illusion by Hand)

4-5에서 배운 판정법은 이랬다. 로그로그에서 직선이면 거듭제곱, 반로그에서 직선이면 지수. 이 판정법을 실제로 쓸 때 사람들이 하는 일은 대개 "로그로그에 그려 봤더니 직선이더라" 한 줄이다. 그게 왜 위험한지를 손으로 확인한다.

재료는 4-6에서 이미 유도한 것을 쓴다. 성장만 있고 선호적 연결이 없으면 (즉 $\Pi(i)=1/(t-1)$로 균등하면) 차수 분포는

이 된다. 이것은 거듭제곱이 아니다. 지수 분포다. 의심의 여지가 없다 — 우리가 4-6에서 재귀식 $2P(k)=P(k-1)$로부터 직접 유도한 정확식이니까.

이 정확식을 $k=2,\dots,8$ 구간에서 로그로그에 얹고 직선을 맞춰 보자. ($k=1$은 $\bar F=1$, $\log_{10}1=0$이라 어느 분포든 지나는 점이므로 뺀다.)

3-1. 표를 채운다 (Filling In the Table)

$y$ 열이 정확히 등차수열이라는 점을 눈여겨보자. −0.30103, −0.60206, −0.90309, … 매번 −0.30103씩 줄어든다. 당연하다. $y=\log_{10}(1/2)^{k-1}=(k-1)\log_{10}\tfrac12=-0.30103(k-1)$이니까. $y$는 $k$에 대해 완벽한 직선이지 $x=\log_{10}k$에 대해 직선인 게 아니다.

3-2. 최소제곱 직선을 손으로 맞춘다 (Fitting the Least-Squares Line by Hand)

$n=7$개 점에 대해

중심화한 제곱합을 각각 전개한다.

따라서 기울기와 절편은

결정계수는

4-5의 항등식 $\gamma=1-(\text{CCDF 기울기})$를 그대로 쓰면

3-3. 같은 자료를 반로그에 얹으면 (The Same Data on a Semi-Log Plot)

$x=k$(로그를 안 씌운 $k$), $y=\log_{10}\bar F(k)$로 놓으면 §3-1에서 본 대로 $y=-0.30103(k-1)$이므로 회귀는 오차 0으로 맞는다.

4. 구간을 바꿔 재면 정체가 드러난다 (Changing the Fitting Range)

$R^2$ 비교보다 더 강력한 진단이 있다. 구간을 바꿔 가며 기울기를 다시 재는 것이다.

진짜 거듭제곱 $\bar F(k)=Ck^{-(\gamma-1)}$이라면 로그로그 기울기는 $k$ 구간이 어디든 같은 값이어야 한다. 그게 "척도가 없다(scale-free)"는 말의 뜻이기도 하다. 특징적인 크기가 없으니 어느 구간을 봐도 같은 모양이어야 한다.

같은 $(1/2)^{k-1}$을 구간만 바꿔 재면:

기울기가 −2.98에서 −12.77까지 계속 가팔라진다. $\gamma$가 3.98에서 13.77까지 움직인다. 이건 거듭제곱일 수가 없다. 그리고 $k=10\sim30$만 따로 재면 $R^2$가 다시 0.979로 올라간다 — 좁은 구간에서는 어떤 곡선이든 직선처럼 보이기 때문이다.

5. R 검증 ① 어떤 자료에도 $\alpha$는 나온다 (fit_power_law on Six Datasets)

이제 손 계산이 아니라 제대로 된 도구를 쓴다. fit_power_law(implementation="plfit")는 최대우도로 $\alpha$를 추정하고 꼬리 시작점 $x_{\min}$까지 자동으로 고른다. 훨씬 낫다. 그런데도 문제는 남는다.

f <- fit_power_law(d, implementation="plfit", p.value=TRUE, p.precision=0.01)
c(f$alpha, f$xmin, f$KS.stat, f$KS.p)

여섯 자료에 그대로 돌린 결과다. 모두 $n=5000$(가라테·FMH만 실제 크기).

읽는 법이 중요하다.

• $\alpha$는 여섯 줄 모두에 나왔다. 값이 나왔다는 것 자체는 아무 정보가 아니다. 함수는 "이 자료가 거듭제곱이면 지수는 얼마인가"를 답할 뿐, "거듭제곱인가"를 답하지 않는다.
• KS.p는 네 줄 모두에서 기각되지 않았다(0.068~0.640). 즉 거듭제곱이 아닌 자료 셋 다 검정을 통과했다. KS 검정은 "거듭제곱이 아니다"를 잡아내는 힘이 생각보다 약하다.
• 진짜 단서는 $x_{\min}$과 꼬리 표본 수다. ER은 $x_{\min}=10$에서 꼬리에 35개밖에 없다. 5000개 중 35개로 지수를 논한 것이다. $\alpha=24.5$라는 값 자체가 이미 "이건 거듭제곱이 아니다"라고 외치고 있다 (현실의 척도 없는 망은 대개 $2\lt\alpha\lt3$).

6. 손 계산 ② 산불 모형 — 불은 언제 안 꺼지는가 (Forest Fire as a Branching Process)

이제 오늘의 새 모형이다. 산불 모형(forest fire model)의 규칙은 이렇다.

BA와의 차이가 핵심이다. BA는 $m$명의 상대를 서로 독립으로 골랐다. 그래서 삼각형이 안 생겼다(4-6 §11). 산불은 소개자의 이웃으로 번지므로 "친구의 친구를 함께 사귀는" 구조가 저절로 생긴다. 여기서 군집계수가 나온다.

6-1. 가지치기 과정으로 보기 (Viewing It as a Pruning Process)

한 번 붙은 불이 몇 명에게 번지는가를 세대별로 세어 보자. $b=E[X]=p/(1-p)$를 "가지 수"라 부르면,

• 0세대: 소개자 본인 → $1$명
• 1세대: 소개자에게서 번진 사람 → 기대 $b$명
• 2세대: 1세대 각각에서 다시 번진 사람 → 기대 $b\times b=b^2$명
• $g$세대: 기대 $b^g$명

따라서 한 새 정점이 만드는 간선 수의 기대값은 등비급수다.

$p=0.2$로 각 항을 전부 전개해 보자. $b=0.2/0.8=0.25$.

즉 $p=0.2$면 새 정점 하나가 평균 1.333개의 간선을 들고 들어오고, 평균 차수는 그 두 배인 2.667이 되어야 한다.

6-2. 임계점 (The Critical Point)

급수가 발산하는 조건은 $b\ge1$, 즉

손 계산으로는 $p=0.5$에서 불이 안 꺼진다는 결론이 나온다. 이 값을 기억해 두자. §7에서 실측과 대조한다.

7. R 검증 ② 산불의 상전이 (The Phase Transition)

ff <- function(n,p) as_undirected(sample_forestfire(n, fw.prob=p, directed=TRUE),
                                 mode="collapse")
mean(replicate(10, ecount(ff(1000, 0.2))))

8. 노화 모형 — 인기가 영원하지 않다면 (The Aging Model)

BA의 선점 효과(4-6 §4)에는 불편한 구석이 있었다. 1번 정점의 차수가 $\sqrt t$로 영원히 자란다. 한 번 허브가 되면 절대 안 밀린다.

현실은 그렇지 않다. 6학년 교실에서 3월에 인기 있던 아이가 11월에도 똑같이 인기 있으리라는 보장은 없다. 이걸 모형에 넣는 방법이 노화(aging)다.

$t-t_i$는 정점 $i$의 나이다. $\nu\lt0$이면 나이가 들수록 매력이 깎인다. $\nu=-1$이면 나이에 반비례하고, $\nu=-2$면 나이의 제곱에 반비례한다.

g <- sample_pa_age(3000, pa.exp=1, aging.exp=-1, m=2, aging.bin=100, directed=FALSE)

읽을 것 세 가지.

• 평균 차수는 3.999로 고정이다($=2m$). 노화는 간선을 없애는 게 아니라 어디에 붙는지만 바꾼다. 그래서 평균은 그대로고 분산만 움직인다.
• 최대 차수 512.6 → 43.3, 분산 164.61 → 6.67. 노화가 세지면 허브가 죽는다. $\nu=-2$의 분산/평균 $=6.67/3.999=1.67$은 4-5 기준으로 거의 무작위 수준이다.
• 거리는 반대로 늘어난다(3.83 → 6.69). 당연하다. 허브는 모두에게 공통인 지름길이었으므로(4-6 §11), 허브가 죽으면 길이 멀어진다. 노화는 쏠림을 줄이는 대신 거리를 희생한다.

9. 함정 ④ aging.exp=0은 BA가 아니다 (The Fourth Default Trap)

§8의 표에서 $\nu=0$ 줄은 "노화가 없는 경우"이므로 BA와 같아야 한다고 생각하는 것이 자연스럽다. 실제로 처음 쓴 스크립트에도 "aging.exp=0이 곧 BA"라고 적어 두었었다. 틀렸다.

같은 $n=3000$, 같은 $m=2$로 나란히 돌려 보면:

꼬리가 네 배 무겁다. 그리고 sample_pa에서는 2번(132.2)이 1번(68.2)보다 컸는데 — 시작 상태 때문이다(4-6 §4) — sample_pa_age에서는 최대 차수 ≈ 1번 차수다. 사실상 항상 1번이 이긴다.

9-1. 원인 추적 (Tracking Down the Cause)

결정적인 확인은 선점 효과 지수 $\beta$를 직접 재는 것이다. 4-6 §4에서 $d_i(t)=m\sqrt{t/t_i}$, 즉 최대 차수가 $n^{1/2}$로 자란다고 유도했다. $n$을 바꿔 가며 최대 차수를 재고 $\log$–$\log$ 회귀하면 $\beta$가 나온다.

10. R 검증 ③ 채점표: 가라테와 FMH (The Scoreboard)

이제 여섯 모형을 두 자료에 나란히 채점한다. 각 100회.

10-1. 가라테 (n=34, m=78) (Karate)

축마다 승자가 다르다.

10-2. FMH 거대성분 (n=439, m=573) (The FMH Giant Component)

11. 간선 수를 맞추지 않은 채점은 무의미하다 (Match the Edge Count First)

§10의 표에는 결함이 있다. 모형마다 간선 수가 다르다. 간선 수를 표에 넣고 산불의 fw.prob을 이분 탐색으로 보정해서 실제 간선 수에 맞춘 뒤 다시 채점하면:

calib <- function(n, mtarget) {          # 목표 간선 수에 맞는 fw.prob 이분 탐색
  lo <- 0.01; hi <- 0.40
  for (i in 1:22) {
    mid <- (lo+hi)/2
    if (mean(replicate(15, ecount(ff(n, mid)))) < mtarget) lo <- mid else hi <- mid
  }
  (lo+hi)/2
}

11-1. 가라테 (목표 78간선, 보정된 fw.prob = 0.3635) (Karate: Targeting 78 Edges)

WS는 68간선, BA는 65간선밖에 못 만든다. 실제는 78이다.

• WS: $n=34$, 이웃 수 $k=2$면 간선이 정확히 $nk=68$개다. 재배선은 간선을 옮길 뿐 개수를 안 바꾼다. $k=3$으로 올리면 102개가 되어 이번엔 너무 많다. 68과 102 사이는 만들 수 없다.
• BA: 4-6에서 본 대로 평균 차수가 $2m$으로 고정이라 $m=2$면 65간선 ($m(n-2)+1$), $m=3$이면 96간선. 역시 78을 못 만든다.

11-2. FMH 거대성분 (목표 573간선, 보정된 fw.prob = 0.1486) (FMH: Targeting 573 Edges)

보정이 결론을 바꿨다. §10에서 산불은 fw.prob=0.37로 돌려 군집 0.3474·최대 차수 125.9라는 엉망인 결과를 냈는데, 간선 수를 맞추니(0.1486) 군집계수 0.2321(실제 0.2840)로 여섯 모형 중 유일하게 자릿수를 맞혔다. 최대 차수도 125.9에서 16.5로 내려왔다.

12. 최고 차수는 언제 들어온 사람인가 (When Did the Hub Arrive?)

4-6 §4에서 "1번이 최고 차수일 확률은 40.8%뿐이지만 $t_i\le10$인 넷 중 하나가 최고일 확률은 99.75%"라는 것을 봤다. 이걸 도착 순서의 분포로 다시 보면 모형 선택의 관점에서 더 선명하다.

arr <- replicate(400, which.max(igraph::degree(
         sample_pa(10000, power=1, m=1, zero.appeal=0, directed=FALSE))))

400번 중 단 한 번도 100번 이후에 들어온 정점이 최고 차수가 되지 못했다. 가장 늦게 들어와서 1등을 한 정점의 도착 순서가 25번이다. 1만 명 중 25번. 무작위라면 100번 이내일 확률이 1%인데 실측은 100%다.

13. 교실 적용 (Classroom Application)

13-1. 모형은 "고르는" 게 아니라 "묻는 축에 맞춰 고르는" 것 (Models Are Chosen to Fit the Question)

§10~§11에서 본 것을 교실 언어로 옮기면 이렇다.

13-2. 소개로 친구를 사귀게 하면 무엇이 달라지는가 (What Changes When Friendships Come from Introductions)

산불 모형의 규칙 — "소개자를 통해 그 사람의 친구들과도 이어진다" — 은 교실에서 실제로 조작 가능한 변수다. 짝 활동, 모둠 재구성, 또래 멘토링이 전부 "소개자를 지정하는" 개입이다.

§7의 표를 개입의 세기 $p$로 읽으면:

읽을 점은 군집계수가 $p$에 거의 반응하지 않는다는 것이다 (0.20→0.30에서 0.268→0.273). 늘어나는 건 간선 수뿐이다. 즉 소개라는 방식 자체가 삼각형을 만들고, 소개를 더 자주 한다고 더 뭉치지는 않는다. "모둠 활동을 늘리면 더 끈끈해질 것"이라는 기대는 이 모형 안에서는 성립하지 않는다. 늘어나는 것은 관계의 수지 밀집도가 아니다.

13-3. 노화라는 손잡이 — 인기의 유효 기간 (Aging as a Dial: The Shelf Life of Popularity)

§8에서 $\nu$를 0에서 −2로 내리면 최대 차수가 512.6 → 43.3으로 떨어졌다. 교실에서 $\nu$에 해당하는 것은 "과거의 인기가 현재에 얼마나 영향을 주는가"다.

• $\nu=0$에 가까운 교실: 3월에 정해진 서열이 학년 말까지 간다. 자리·모둠이 고정되고, 새 활동이 없고, 관계가 갱신될 기회가 없는 교실.
• $\nu$가 음수인 교실: 주기적으로 모둠을 다시 짜고 새 활동을 넣어 "지금 무엇을 하고 있는가"가 "예전에 인기였는가"보다 중요해지는 교실.

다만 대가가 있다는 것을 §8에서 이미 봤다. $\nu=-2$면 쏠림은 거의 사라지지만 평균 거리가 3.83에서 6.69로 1.75배 늘어난다. 교실 언어로는 "누구에게 물어봐도 두세 다리 건너면 닿던 것이 대여섯 다리가 된다". 정보 전달과 소식 공유는 오히려 느려진다.

13-4. 그래서 남는 것 — "우리 반은 어느 모형인가"를 묻지 말 것 (What Remains: Do Not Ask Which Model Our Class Is)

14. 연습문제 (Exercises)

15. 해설과 답 (Solutions)

15-1. 연습문제 1 해설 (Solution to Exercise 1)

(가) 표 채우기. $\bar F(k)=(2/3)^{k-1}$이므로 $\bar F(2)=2/3$, $\bar F(3)=4/9$, $\bar F(4)=8/27$, $\bar F(5)=16/81$, $\bar F(6)=32/243$. $y=\log_{10}\bar F(k)=(k-1)\log_{10}(2/3)=-0.1760913(k-1)$.

($\sum y^2=1.7054472$도 필요하다.)

(나) 반박 두 가지.

반박 ①: 구간을 넓혀 다시 재라. 진짜 거듭제곱이면 기울기가 구간에 무관해야 한다.

$\gamma$가 2.46 → 5.52로 계속 흘러간다. 거듭제곱이면 있을 수 없는 일이다. (4-6 §10에서 진짜 BA는 2.839 → 2.970 → 2.997 → 2.9997로 3에 정착했다.)

반박 ②: 반로그를 그려 $R^2$를 비교하라. (다)에서 보듯 반로그 $R^2$가 정확히 1이다. 0.9744는 1.0000에게 진다.

(다) 반로그. $y=\log_{10}(2/3)^{k-1}=(k-1)\log_{10}(2/3)$이므로 $y$는 $k$의 일차식이다.

오차 항이 전혀 없는 정확한 직선이므로 최소제곱 잔차가 0이고 $R^2=1$이다.

15-2. 연습문제 2 해설 (Solution to Exercise 2)

(가) 가지 수와 세대별 전개.

(다) 예측 평균 차수와 실측의 차이. 새 정점 하나가 간선 2개를 들고 오므로 $n$개 정점이면 간선이 $2n$개, 평균 차수는

실측은 6.647(간선 3323.7개)로 1.66배 크다.

(라) $p=0.6$이면.

등비급수 $\sum b^g$는 $b\ge1$에서 발산한다. 손 계산상 기대 간선 수가 무한대다. 실제로는 정점 수가 유한하므로 무한대가 되지는 않고, 대신 새 정점이 기존 정점 상당수와 연결된다. $n=200$에서 돌리면 평균 차수가 148.8이 나온다 — 199명 중 149명과 친구다.