단원 2-1Degree Centrality & Freeman Centralization

연결정도 중심성과 그래프 중심화

SNA 이론 · 단계별 학습STAGED+ 스터디

차례

오늘의 질문 (Today's Question)
공통 예제 복습 (The Running Example)
정의 ① 연결정도 중심성 (Degree Centrality)
손 계산 — 일곱 명 전부 (Hand Calculation)
연결정도 중심성이 놓치는 것 (What Degree Misses)
정의 ② 그래프 중심화 (Freeman Centralization)
분모는 어디서 오는가 — 별 그래프 (Where the Denominator Comes From)
손 계산 — 중심화 0.1667 (Hand Calculation)
중심화 0과 1 사이 — 세 그래프 비교 (Reading the Scale)
R 검증과 loops 함정 (R Verification & a Trap)
교실 적용 (Classroom Application)
연습문제 (Exercises)
연습문제 해설과 답 (Solutions)

1. 오늘의 질문 (Today's Question)

1단계에서 연결정도를 이미 배웠다(단원 1-4). 그런데 그것은 개수였다. 2단계의 질문은 개수가 아니다.

"연결정도 3은 많은 것인가? 그리고 우리 학급은 한 사람에게 관계가 얼마나 몰려 있는가?"

두 질문에 답하려면 두 가지 변환이 필요하다. ① 개수를 0~1 사이 비율로 바꿔 규모가 다른 학급끼리 비교할 수 있게 만든다 → 중심성. ② 일곱 개의 값을 하나의 수로 요약해 학급 전체의 성격을 말한다 → 중심화.

	중심성 (centrality)	중심화 (centralization)
누구에 대한 값인가	개인 — 학생마다 하나	네트워크 — 학급마다 하나
묻는 것	이 학생은 중심에 있나	이 학급은 한 명에게 쏠렸나
값의 개수	7개	1개
기호	$C_D(i)$	$C_D$ (아래 첨자 없음)

두 단어를 반드시 구별할 것. 한국어로 "중심성"과 "중심화"는 한 글자 차이지만 단위가 다르다. 중심성은 학생의 속성이고, 중심화는 학급의 속성이다. "우리 반 중심성이 0.17이다"는 틀린 문장이다 — 중심화가 0.17인 것이다.

2. 공통 예제 복습 (The Running Example)

2단계 전체에서 단원 1-8의 7명 무방향 네트워크를 쓴다. 같은 데이터에 네 가지 중심성을 차례로 적용해 서로 다른 답이 나오는 것을 확인하는 것이 2단계의 구성이다.

U=\begin{array}{c|ccccccc} & \text{S1} & \text{S2} & \text{S3} & \text{S4} & \text{S5} & \text{S6} & \text{S7}\\ \hline \text{S1} & 0&1&1&0&0&0&0\\ \text{S2} & 1&0&1&0&0&0&0\\ \text{S3} & 1&1&0&1&0&0&0\\ \text{S4} & 0&0&1&0&1&0&0\\ \text{S5} & 0&0&0&1&0&1&1\\ \text{S6} & 0&0&0&0&1&0&1\\ \text{S7} & 0&0&0&0&1&1&0 \end{array}

엣지 8개, 밀도 $8/21 = 0.3810$ , 평균 연결정도 $16/7 = 2.2857$ , 지름 4. S4는 절단점(cut vertex)이다 — 빠지면 학급이 두 조각으로 갈라진다(단원 1-8 §11).

3. 정의 ① 연결정도 중심성 (Degree Centrality)

연결정도 자체가 이미 중심성 지표다. 문제는 비교다. 연결정도 3이 7명 학급에서는 많지만 30명 학급에서는 적다. 그래서 가능한 최대값으로 나눈다.

정의. 무방향 네트워크에서

\underbrace{d_i = \sum_{j=1}^{n} U[i,j]}_{\text{절대 연결정도 (단원 1-4)}} \qquad \underbrace{C_D(i) = \frac{d_i}{n-1}}_{\text{정규화 연결정도 중심성}}

분모 $n-1$ 은 자기 자신을 뺀 나머지 전원의 수다. 한 학생이 가질 수 있는 친구 수의 최대값이다.

따라서 $C_D(i)$ 는 "반 친구 중 몇 %와 연결되어 있는가"로 읽힌다.

값	뜻
$C_D(i) = 0$	아무와도 연결되지 않은 완전 고립
$C_D(i) = 1$	반 전원과 연결 — 이론상 최대
$C_D(i) = 0.5$	반의 절반과 연결

왜 $n$ 이 아니라 $n-1$ 인가. $U[i,i] = 0$ 이라는 약속(단원 1-1) 때문이다. 자기 자신은 친구가 될 수 없으므로 후보는 $n-1$ 명이다. $n$ 으로 나누면 $C_D$ 가 절대 1에 도달하지 못해 상한이 의미를 잃는다.

4. 손 계산 — 일곱 명 전부 (Hand Calculation)

$n = 7$ 이므로 분모는 $n-1 = 6$ 이다. 대표로 두 학생의 행합을 일곱 항 전부 전개한다.

4-1. S3 — 가장 높은 학생 (The Highest-Degree Student)

d_3 = \sum_{j=1}^{7} U[3,j] = 1+1+0+1+0+0+0 = \mathbf{3}

$j$	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	합
$U[3,j]$	1	1	0	1	0	0	0	3
왜 그 값인가	같은 삼각형	같은 삼각형	자기 자신	다리 상대	멀다	멀다	멀다

C_D(\text{S3}) = \frac{3}{6} = \mathbf{0.5}

4-2. S4 — 다리 학생 (The Bridging Student)

d_4 = \sum_{j=1}^{7} U[4,j] = 0+0+1+0+1+0+0 = \mathbf{2}

$j$	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	합
$U[4,j]$	0	0	1	0	1	0	0	2
왜 그 값인가	왼쪽 삼각형 안쪽	왼쪽 삼각형 안쪽	왼쪽 유일 연결	자기 자신	오른쪽 유일 연결	오른쪽 삼각형 안쪽	오른쪽 삼각형 안쪽

C_D(\text{S4}) = \frac{2}{6} = \mathbf{0.3333}

4-3. 전체 표 (The Full Table)

학생	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	합
$d_i$ (행합)	2	2	3	2	3	2	2	16
$C_D(i) = d_i/6$	$\tfrac{2}{6}$	$\tfrac{2}{6}$	$\tfrac{3}{6}$	$\tfrac{2}{6}$	$\tfrac{3}{6}$	$\tfrac{2}{6}$	$\tfrac{2}{6}$	$\tfrac{16}{6}$
소수	.3333	.3333	.5000	.3333	.5000	.3333	.3333	2.6667
순위	3위	3위	1위	3위	1위	3위	3위

검산(단원 1-8의 악수 정리): $\sum d_i = 2E = 2 \times 8 = 16$ ✓

결과가 심하게 평평하다. 값이 두 종류밖에 없다 — 0.5(S3, S5)와 0.3333(나머지 다섯). 연결정도 중심성은 이 학급의 일곱 학생을 2등급으로만 나눈다. S3와 S5가 공동 1위, 나머지 다섯 명이 공동 3위다.

5. 연결정도 중심성이 놓치는 것 (What Degree Misses)

여기서 2단계 전체를 관통하는 문제가 드러난다.

학생	$C_D$	순위	구조에서의 실제 역할
S3	.5000	1위	왼쪽 삼각형의 대표. 절단점(빠지면 2·4로 갈림)
S5	.5000	1위	오른쪽 삼각형의 대표. 절단점(빠지면 4·2로 갈림)
S4	.3333	3위 (공동 최하위)	절단점. 빠지면 3·3으로 정확히 반 갈린다
S1, S2	.3333	3위	왼쪽 삼각형 안쪽. 빠져도 구조는 그대로
S6, S7	.3333	3위	오른쪽 삼각형 안쪽. 빠져도 구조는 그대로

S4는 이 네트워크에서 가장 중요한 학생인데 연결정도 중심성은 최하위로 매긴다.

S1을 지우면 남는 6명은 여전히 하나로 연결된다. S4를 지우면 {S1,S2,S3}와 {S5,S6,S7}이 서로 완전히 단절된다(단원 1-7의 컴포넌트가 1개→2개). 그런데 두 학생의 $C_D$ 는 똑같이 0.3333이다. 연결정도는 "몇 명과 닿는가"만 세고 "그 연결이 무엇을 잇는가"는 보지 않는다.

정확히 말하면 절단점은 S4 하나가 아니다. articulation_points(g)는 S3, S4, S5 세 명을 돌려준다 — 사슬 S3–S4–S5 위에 있는 세 학생 전부가 절단점이다. 누구를 지우든 학급이 두 조각이 된다:

지우는 학생	$d_i$	남는 두 조각	크기	피해
S3	3	{S1,S2} / {S4,S5,S6,S7}	2·4	두 명이 떨어져 나간다
S4	2	{S1,S2,S3} / {S5,S6,S7}	3·3	학급이 정확히 반으로 — 가장 큰 피해
S5	3	{S1,S2,S3,S4} / {S6,S7}	4·2	두 명이 떨어져 나간다

그래서 S4가 특별하다. 세 절단점 중에서 ① 연결정도가 가장 낮고(2 vs 3, 3) ② 삼각형이 하나도 없고(단원 1-8 §7의 $\operatorname{diag}(U^3)$ 에서 S4만 0) ③ 지웠을 때 가장 균등하게 쪼개진다(3·3). "가장 눈에 안 띄는 학생이 가장 결정적인 자리에 있다" — 연결정도로는 절대 보이지 않고, 매개 중심성(단원 2-3)이 정확히 이것을 잡아낸다.

왜 그런가? 연결정도는 거리 1만 본다. 자기 이웃까지만 보고 그 너머를 보지 않는 국소 지표(local measure)다. 2단계의 나머지 세 중심성은 각각 다른 방식으로 이 한계를 넘는다.

단원	중심성	보는 범위	S4를 어떻게 평가할까
2-1	연결정도 (degree)	거리 1 (이웃만)	최하위 — 오늘 확인함
2-2	근접 (closeness)	모든 거리의 합	가운데라 유리할 것
2-3	매개 (betweenness)	최단경로 전부	압도적 1위일 것
2-4	고유벡터 (eigenvector)	이웃의 중요도까지 재귀	이웃이 강해 유리할 것

즉 같은 데이터에서 네 지표가 서로 다른 1위를 뽑는다. 이것이 2단계에서 확인할 핵심이다.

6. 정의 ② 그래프 중심화 (Freeman Centralization)

이제 일곱 개 값을 하나로 요약한다. Freeman(1979)의 아이디어는 단순하다.

"1등이 나머지를 얼마나 압도하는가"를 재고, 이론상 최대 압도와 비교한다.

C_D \;=\; \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bigl(d_{\max} - d_i\bigr)}{(n-1)(n-2)} \qquad \text{단, } d_{\max} = \max_i d_i

분자: 1등과의 격차를 전원에 대해 더한다 — 실제 불균등의 총량.
분모: 그 총량이 가질 수 있는 최대값(§7에서 유도).

왜 평균이나 표준편차가 아니라 이 식인가? 세 가지 성질 때문이다.

성질	이유
$d_i$ 가 전부 같으면 $C_D = 0$	모든 항이 $d_{\max}-d_{\max}=0$ . 완전 평등
별 모양이면 $C_D = 1$	한 명이 전부를 독점하는 극단 (§7)
규모 $n$ 에 무관하게 비교 가능	분모가 $n$ 에 따라 자동 조정됨

분자는 "1등 기준 격차의 합"이지 분산이 아니다. 표준편차는 평균에서 떨어진 정도를 재므로 "한 명이 몰아 가진 경우"와 "두 집단으로 갈린 경우"를 구별하지 못한다. Freeman의 분자는 1등에서 떨어진 정도를 재므로 독점 구조에 특화되어 있다.

7. 분모는 어디서 오는가 — 별 그래프 (Where the Denominator Comes From)

$(n-1)(n-2)$ 라는 분모를 외우지 말고 유도한다. 분자 $\sum(d_{\max}-d_i)$ 가 가장 커지는 네트워크는 무엇인가?

별 그래프(star graph)다 — 한 명(허브)이 나머지 전원과 연결되고, 나머지끼리는 아무 연결도 없다. $n = 7$ 로 그려 보면:

학생	허브	잎1	잎2	잎3	잎4	잎5	잎6
$d_i$	6	1	1	1	1	1	1
$d_{\max}-d_i$	0	5	5	5	5	5	5

항을 전부 전개하면:

\sum_{i=1}^{7}(d_{\max}-d_i) = 0+5+5+5+5+5+5 = 6 \times 5 = \mathbf{30}

일반화하면 허브는 $d_{\max} = n-1$ , 잎은 $d_i = 1$ 이고 잎이 $n-1$ 개이므로:

\sum_i (d_{\max}-d_i) = \underbrace{0}_{\text{허브}} + \underbrace{(n-1)}_{\text{잎의 수}} \times \underbrace{\bigl((n-1)-1\bigr)}_{\text{잎 하나의 격차}} = (n-1)(n-2)

$n=7$ 이면 $6 \times 5 = 30$ ✓ — 분모가 곧 별 그래프의 분자다.

그래서 $C_D$ 는 "우리 학급이 별 모양에 얼마나 가까운가"다. 0이면 전원 동등, 1이면 완전한 별(한 명에게 전부 몰림). 이 해석을 잡아 두면 값을 보고 바로 그림이 떠오른다.

8. 손 계산 — 중심화 0.1667 (Hand Calculation)

우리 7명 네트워크의 연결정도는 $(2,2,3,2,3,2,2)$ 이므로 $d_{\max} = 3$ 이다. 일곱 항을 전부 전개한다.

$i$	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	합
$d_i$	2	2	3	2	3	2	2	16
$d_{\max}-d_i$	$3-2=1$	$3-2=1$	$3-3=0$	$3-2=1$	$3-3=0$	$3-2=1$	$3-2=1$	5
왜 그 값인가	1등보다 1 적다	1등보다 1 적다	1등 본인	1등보다 1 적다	공동 1등	1등보다 1 적다	1등보다 1 적다

\sum_{i=1}^{7}(d_{\max}-d_i) = 1+1+0+1+0+1+1 = \mathbf{5}

C_D = \frac{5}{(7-1)(7-2)} = \frac{5}{6 \times 5} = \frac{5}{30} = \mathbf{0.1667}

0.1667은 낮다. 이론상 최대 불균등(30)의 6분의 1밖에 안 된다. "이 학급은 한 사람에게 관계가 몰려 있지 않다 — 매우 평등한 구조다"가 정직한 해석이다.

직관과도 맞는다. 값이 2와 3 두 종류뿐이니 격차가 클 수 없다. 1등(3)과 최하위(2)의 차이가 고작 1이다.

"평등한 구조"라는 진단이 "건강한 구조"를 뜻하지는 않는다. 이 학급은 중심화 0.1667로 매우 평등하지만, S4 한 명이 빠지면 두 조각으로 갈라진다(§5). 연결정도 중심화는 독점만 재고 취약성은 재지 못한다. "중심화가 낮으니 안심"이라는 추론은 성립하지 않는다 — 이 점은 §9의 고리 그래프 비교에서 결정적으로 드러난다.

9. 중심화 0과 1 사이 — 세 그래프 비교 (Reading the Scale)

같은 $n=7$ 에서 네 가지 구조의 중심화를 나란히 놓으면 눈금이 잡힌다.

구조	연결정도	$d_{\max}$	$\sum(d_{\max}-d_i)$	$C_D$	교실 비유
완전 그래프 (complete)	6 6 6 6 6 6 6	6	0	0	전원이 전원과 친함
고리 (ring)	2 2 2 2 2 2 2	2	0	0	손잡고 원을 만든 상태
우리 네트워크	2 2 3 2 3 2 2	3	5	0.1667	두 모둠 + 다리 한 명
별 (star)	6 1 1 1 1 1 1	6	30	1	한 명에게 전부 쏠림

완전 그래프와 고리가 똑같이 0이다. 이것이 중심화의 결정적 한계다. 두 구조는 밀도가 완전히 다르다 — 완전 그래프는 1.0, 고리는 $7/21 = 0.3333$ . 그런데 둘 다 "완전히 평등"하므로 중심화가 같다.

중심화는 관계의 양이 아니라 분포의 모양만 잰다. 따라서 반드시 밀도와 함께 보고해야 한다 — "밀도 0.38, 중심화 0.17"처럼 두 수를 짝으로 적는 습관을 들일 것.

중심화를 읽는 대략의 눈금(경험적 기준, 절대적 선은 아니다). 0~0.2 매우 평등 — 리더가 뚜렷하지 않다. 0.2~0.4 완만한 위계. 0.4~0.7 뚜렷한 중심 인물이 존재. 0.7 이상 한 명 의존 — 그 학생이 결석하면 정보가 멈춘다.

10. R 검증과 `loops` 함정 (R Verification & a Trap)

library(igraph)
nm <- paste0("S", 1:7)
U  <- matrix(0, 7, 7, dimnames = list(nm, nm))
el <- rbind(c("S1","S2"), c("S1","S3"), c("S2","S3"), c("S3","S4"),
            c("S4","S5"), c("S5","S6"), c("S5","S7"), c("S6","S7"))
for (i in 1:nrow(el)) { U[el[i,1], el[i,2]] <- 1; U[el[i,2], el[i,1]] <- 1 }
g <- graph_from_adjacency_matrix(U, mode = "undirected")
n <- 7

# ① 절대 연결정도
igraph::degree(g)                       # 2 2 3 2 3 2 2
rowSums(U)                              # 같은 값 (손 계산과 일치)

# ② 정규화 연결정도 중심성
igraph::degree(g) / (n - 1)             # .3333 .3333 .5 .3333 .5 .3333 .3333
igraph::degree(g, normalized = TRUE)    # 같은 값 — 내부에서 (n-1)로 나눈다

# ③ 중심화 — 손 계산 그대로
d <- igraph::degree(g)
sum(max(d) - d)                         # 5      ← 분자
(n - 1) * (n - 2)                       # 30     ← 분모
sum(max(d) - d) / ((n - 1) * (n - 2))   # 0.1666667

함정 — centr_degree()의 기본값이 손 계산과 다른 답을 준다.

centr_degree(g)$centralization                       # 0.1190476  ← 손 계산과 다르다!
centr_degree(g)$theoretical_max                      # 42
 
centr_degree(g, mode = "all", loops = FALSE)$centralization
                                                     # 0.1666667  ← 손 계산과 일치 ✓
centr_degree(g, mode = "all", loops = FALSE)$theoretical_max
                                                     # 30

원인은 분모 하나다. args(centr_degree)를 보면 기본값이 loops = TRUE다. 자기 자신과의 연결(self-loop)까지 가능하다고 보면 최대 격차가 커져 분모가 $(n-1)(n-2) = 30$ 대신 $n(n-1) = 42$ 가 된다. 분자는 양쪽 다 5로 같다: $5/30 = 0.1667$ vs $5/42 = 0.1190$ . 학생 관계 데이터에는 자기 지명이 없으므로(단원 1-1의 $U[i,i]=0$ 약속) 반드시 loops = FALSE를 명시해야 교재의 Freeman 값이 나온다.

검증 습관. centr_*() 계열 함수를 쓸 때는 $centralization만 보지 말고 $theoretical_max를 함께 출력해서 분모가 손 계산과 같은지 확인할 것. 이 습관 하나로 위 함정을 매번 피할 수 있다. 같은 이유로 논문·보고서를 읽을 때도 "중심화 0.12"라는 값만으로는 재현할 수 없다 — 어떤 분모를 썼는지가 함께 적혀야 한다.

# ④ 눈금 확인 — §9의 세 그래프
centr_degree(make_full_graph(7), mode="all", loops=FALSE)$centralization  # 0
centr_degree(make_ring(7),       mode="all", loops=FALSE)$centralization  # 0
centr_degree(make_star(7, mode="undirected"), mode="all", loops=FALSE)$centralization
                                                                          # 1
igraph::degree(make_star(7, mode="undirected"))   # 6 1 1 1 1 1 1

# ⑤ 중심화가 못 잡는 것 — 취약성 (§5의 표)
names(articulation_points(g))              # "S5" "S4" "S3"   ← 절단점이 셋이다
igraph::components(delete_vertices(g, "S4"))$csize   # 3 3   ← 정확히 반으로
igraph::components(delete_vertices(g, "S3"))$csize   # 2 4
igraph::components(delete_vertices(g, "S1"))$csize   # 6     ← 안 쪼개진다

11. 교실 적용 (Classroom Application)

① 정규화가 있어야 학급 간·학년 간 비교가 된다. 단원 1-5에서 밀도를 학급 규모끼리 비교하면 안 된다고 했다. 연결정도도 같다 — 25명 학급의 연결정도 5와 35명 학급의 연결정도 5는 다른 의미다. $C_D = 5/24 = 0.208$ vs $5/34 = 0.147$ . 지명 수를 제한한 설문에서는 특히 조심해야 한다. "3명까지 지명"이면 $d_{\text{out}}$ 의 최대가 3으로 묶여 있어 외향 연결정도 중심성은 최대 $3/(n-1)$ 까지만 나온다 — 이때는 내향 연결정도 중심성만 의미 있는 지표다(단원 1-4, 1-9).

② 중심화가 높은 학급의 위험. $C_D$ 가 0.7을 넘는다면 "관계가 한 학생을 통과해야만 이어지는" 상태에 가깝다. 그 학생이 결석하면 그날 학급의 정보 흐름이 멈추고, 그 학생이 특정 학생을 배제하면 학급 전체가 배제에 가담하게 된다. 개입 방향은 그 학생을 억누르는 것이 아니라 2등·3등을 키워 경로를 늘리는 것이다.

③ 중심화가 낮은 학급도 안심할 수 없다 — 오늘 배운 가장 중요한 점. 우리 예제의 중심화는 0.1667로 매우 낮지만 S4가 빠지면 학급이 두 조각이 된다. 중심화는 "독점"을 재고 "취약성"은 재지 않는다. 따라서 학급 진단은 최소 세 가지를 함께 봐야 한다 — 밀도(관계의 양) + 중심화(쏠림) + 절단점·컴포넌트(취약성). 셋 중 하나만 보면 반드시 놓치는 것이 생긴다.

④ 연결정도만으로 "인기 순위"를 매기지 말 것. S3와 S5가 공동 1위지만 둘은 각각 다른 모둠의 대표다. 같은 0.5가 "학급 전체의 인기"를 뜻하지 않는다. 연결정도는 거리 1까지만 보는 국소 지표이므로 학생이 속한 집단의 크기에 좌우된다 — 큰 모둠에 속하면 자동으로 높아진다. 학급 전체 수준의 위치를 알려면 근접(2-2)·매개(2-3) 중심성이 필요하다.

⑤ 그래도 연결정도가 첫 지표인 이유. 계산이 가장 단순하고(행합 한 번), 설문 응답과 직접 대응되며, 극단값(0 또는 매우 낮음)이 즉시 개입해야 할 학생을 정확히 집어낸다. 정교한 지표는 미묘한 차이를 잡는 데 쓰고, "아무도 지명하지 않은 학생"을 찾는 데는 연결정도가 가장 확실하다.

12. 연습문제 (Exercises)

문제 1. 단원 1-8 연습문제 1에서 S4–S6 관계를 하나 추가했다 (다리 학생 S4에게 오른쪽 모둠 친구를 하나 더 만들어 준 상황). ① 일곱 명의 연결정도를 구하고 $C_D(i) = d_i/6$ 을 모두 쓰시오. ② $\sum(d_{\max}-d_i)$ 의 일곱 항을 전부 전개해 중심화를 구하시오. ③ 밀도는 $8/21 = 0.3810$ 에서 $9/21 = 0.4286$ 으로 올랐는데 중심화는 어떻게 되는가? 두 값이 서로 반대 방향으로 움직이는 이유를 설명하시오.

문제 2. 이번에는 S3에게 관계를 몰아 준다 — S3–S5, S3–S6, S3–S7 세 관계를 추가했다고 하자(원래 8개 + 3개 = 11개). ① 일곱 명의 연결정도와 $C_D(i)$ 를 구하시오. ② $\sum(d_{\max}-d_i)$ 를 전부 전개해 중심화를 구하시오. ③ 밀도와 중심화가 각각 몇 배로 변했는지 계산하고, 어느 쪽이 더 크게 변했는지 답하시오. ④ 이 학급에서 S3이 2주간 결석하면 무슨 일이 생기는가? 그리고 S4는 이제 안전해졌는가?

먼저 스스로 풀고 §13 해설과 맞춰 볼 것.

13. 연습문제 해설과 답 (Solutions)

13-1. 문제 1 — 다리 학생을 보강하면 (Reinforcing the Bridge)

무엇이 바뀌는가. $U[4,6]$ 과 $U[6,4]$ 가 0에서 1로 바뀐다. 무방향이므로 두 칸을 동시에 고쳐야 한다(단원 1-8의 $U = U^{\mathsf T}$ ). 바뀐 두 칸을 표시한 행렬:

U'=\begin{array}{c|ccccccc} & \text{S1} & \text{S2} & \text{S3} & \text{S4} & \text{S5} & \text{S6} & \text{S7}\\ \hline \text{S1} & 0&1&1&0&0&0&0\\ \text{S2} & 1&0&1&0&0&0&0\\ \text{S3} & 1&1&0&1&0&0&0\\ \text{S4} & 0&0&1&0&1&\color{#b91c1c}{1}&0\\ \text{S5} & 0&0&0&1&0&1&1\\ \text{S6} & 0&0&0&\color{#b91c1c}{1}&1&0&1\\ \text{S7} & 0&0&0&0&1&1&0 \end{array}

① 연결정도와 중심성. 행합을 다시 계산한다. S4와 S6의 행만 바뀐다:

학생	이전 $d_i$	이후 $d_i$	$C_D(i) = d_i/6$	왜
S1	2	2	0.3333	변화 없음
S2	2	2	0.3333	변화 없음
S3	3	3	0.5000	변화 없음
S4	2	3	0.5000	S6이 추가 — 최하위에서 공동 1위로
S5	3	3	0.5000	변화 없음
S6	2	3	0.5000	S4가 추가
S7	2	2	0.3333	변화 없음
합	16	18		$2E = 2\times 9 = 18$ ✓

② 중심화. $d_{\max}$ 는 여전히 3이다(3보다 큰 값이 생기지 않았다). 일곱 항 전부:

$i$	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	합
$d_i$	2	2	3	3	3	3	2	18
$d_{\max}-d_i$	$3-2=1$	$3-2=1$	$3-3=0$	$3-3=0$	$3-3=0$	$3-3=0$	$3-2=1$	3
왜 그 값인가	1등보다 1 적다	1등보다 1 적다	공동 1등	공동 1등으로 올라옴	공동 1등	공동 1등으로 올라옴	1등보다 1 적다

\sum_{i=1}^{7}(d_{\max}-d_i) = 1+1+0+0+0+0+1 = \mathbf{3} \qquad C_D = \frac{3}{30} = \mathbf{0.1}

답 ① $d = (2,2,3,3,3,3,2)$ , $C_D(i) = (0.3333,\,0.3333,\,0.5,\,0.5,\,0.5,\,0.5,\,0.3333)$ ② $\sum(d_{\max}-d_i) = 3$ , 중심화 $= 3/30 = 0.1$ (이전 0.1667에서 내려갔다)

③ 왜 반대 방향인가: 밀도는 관계의 총량을 재고 중심화는 관계의 분포를 잰다. 추가한 관계가 최하위 학생 두 명(S4, S6)에게 갔으므로 총량은 늘고(밀도 ↑) 격차는 줄었다(중심화 ↓). 1등이 3에서 그대로인데 최하위 두 명이 2→3으로 올라와 1등과 같아졌다 — 1등 기준 격차의 합이 5에서 3으로 줄어든 것이다.

일반 규칙. 관계를 낮은 사람에게 추가하면 밀도 ↑, 중심화 ↓. 관계를 이미 높은 사람에게 추가하면 밀도 ↑, 중심화 ↑ (문제 2에서 확인한다). 즉 밀도만 보고 학급이 나아졌다고 말할 수 없다 — 같은 "관계 하나 추가"가 누구에게 갔느냐에 따라 구조가 정반대로 움직인다.

교실 해석. "다리 학생 S4에게 오른쪽 모둠 친구를 하나 더 붙여 준" 개입은 세 지표를 동시에 개선했다 — 밀도 0.381→0.429, 중심화 0.167→0.100, 그리고 삼각형이 2개에서 3개로 늘었다(단원 1-8 연습 1). 게다가 S4는 더 이상 유일한 다리가 아니다 — 이제 두 모둠은 S3–S4–S5와 S4–S6 두 갈래로 이어진다. 가장 약한 지점에 관계를 하나 놓는 것이 가장 효율이 높다는 것을 숫자가 그대로 보여 준다. 모둠 편성에서 "인기 있는 학생을 더 챙기기"보다 "연결이 얇은 학생에게 한 명 붙여 주기"가 나은 이유다.

13-2. 문제 2 — 허브를 만들면 (Creating a Hub)

무엇이 바뀌는가. S3의 행·열에 세 칸씩(대칭이므로 총 6칸) 1이 들어간다:

U''=\begin{array}{c|ccccccc} & \text{S1} & \text{S2} & \text{S3} & \text{S4} & \text{S5} & \text{S6} & \text{S7}\\ \hline \text{S1} & 0&1&1&0&0&0&0\\ \text{S2} & 1&0&1&0&0&0&0\\ \text{S3} & 1&1&0&1&\color{#b91c1c}{1}&\color{#b91c1c}{1}&\color{#b91c1c}{1}\\ \text{S4} & 0&0&1&0&1&0&0\\ \text{S5} & 0&0&\color{#b91c1c}{1}&1&0&1&1\\ \text{S6} & 0&0&\color{#b91c1c}{1}&0&1&0&1\\ \text{S7} & 0&0&\color{#b91c1c}{1}&0&1&1&0 \end{array}

① 연결정도. S3의 행을 일곱 항 전부 전개한다 — 이제 자기 자신만 빼고 전원과 연결된다:

d_3 = \sum_{j=1}^{7} U''[3,j] = 1+1+0+1+1+1+1 = \mathbf{6} = n-1

학생	이전 $d_i$	이후 $d_i$	$C_D(i) = d_i/6$	왜
S1	2	2	0.3333	변화 없음
S2	2	2	0.3333	변화 없음
S3	3	6	1.0000	S5·S6·S7 추가 → 전원과 연결
S4	2	2	0.3333	변화 없음 — 여전히 최하위
S5	3	4	0.6667	S3 추가
S6	2	3	0.5000	S3 추가
S7	2	3	0.5000	S3 추가
합	16	22		$2E = 2 \times 11 = 22$ ✓

② 중심화. 이제 $d_{\max} = 6$ 이다. 일곱 항 전부 전개:

$i$	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	합
$d_i$	2	2	6	2	4	3	3	22
$d_{\max}-d_i$	$6-2=4$	$6-2=4$	$6-6=0$	$6-2=4$	$6-4=2$	$6-3=3$	$6-3=3$	20
왜 그 값인가	허브보다 4 적다	허브보다 4 적다	허브 본인	허브보다 4 적다	허브보다 2 적다	허브보다 3 적다	허브보다 3 적다

\sum_{i=1}^{7}(d_{\max}-d_i) = 4+4+0+4+2+3+3 = \mathbf{20} \qquad C_D = \frac{20}{30} = \mathbf{0.6667}

③ 변화 배수. 엣지는 8개에서 11개가 되었으므로 밀도는 $11/21$ 이다:

지표	이전	이후	배수
엣지 수	8	11	1.375배
밀도	$8/21 = 0.3810$	$11/21 = 0.5238$	1.375배
중심화	0.1667	0.6667	4.0배

답 ① $d = (2,2,6,2,4,3,3)$ , $C_D(i) = (0.3333,\,0.3333,\,\mathbf{1.0},\,0.3333,\,0.6667,\,0.5,\,0.5)$ ② $\sum(d_{\max}-d_i) = 20$ , 중심화 $= 20/30 = 0.6667$ ③ 밀도는 1.375배, 중심화는 4.0배 — 중심화가 훨씬 크게 변했다. 관계 3개를 추가했을 뿐인데 학급의 성격이 "매우 평등"(0.17)에서 "뚜렷한 중심 인물 존재"(0.67, §9 눈금의 상위 구간)로 바뀌었다.

④ S3이 결석하면: $C_D(\text{S3}) = 1.0$ 이므로 모든 학생이 S3과 직접 연결되어 있다. S3이 없으면 남은 6명은 S1–S2, S4–S5, S5–S6, S5–S7, S6–S7만 남아 {S1,S2}와 {S4,S5,S6,S7} 두 조각으로 갈라진다. 공지 사항이 학급 전체에 도달하지 못하고, 왼쪽 두 학생이 완전히 고립된다.

답 ④ (계속) — S4는 안전해졌는가 아니다. S4의 연결정도는 2에서 변하지 않았고( $C_D = 0.3333$ , 여전히 공동 최하위), S4의 이웃은 그대로 S3과 S5뿐이다. 달라진 것은 S4가 더 이상 유일한 다리가 아니라는 점이다 — 이제 왼쪽과 오른쪽은 S3을 통해서도 이어진다(S1–S3–S5 등). 즉 S4의 절단점 지위는 사라졌지만 개인의 처지는 그대로다. S4는 이제 "구조적으로 중요하지도 않고 연결도 적은" 학생 — 이전보다 오히려 더 주변부가 되었다.

교실 해석 — 이것이 중심화가 높은 학급의 전형이다. 관계 3개를 한 학생에게 몰아 준 것만으로 밀도는 0.38에서 0.52로 좋아 보이게 올랐지만, 학급은 S3 한 명에게 의존하는 구조가 되었다. "관계가 늘었으니 좋아졌다"는 판단이 왜 위험한지 보여 주는 사례다.

더 주목할 것은 S4다. 문제 1의 개입(약한 지점에 하나 추가)은 S4를 최하위에서 공동 1위로 끌어올렸다. 문제 2의 개입(강한 지점에 셋 추가)은 관계를 세 개나 더 넣었는데도 S4를 전혀 돕지 못했다. 학급 전체 지표(밀도)가 더 크게 오른 쪽은 문제 2인데, 정작 도움이 필요한 학생에게 닿은 것은 문제 1이다. 평균과 총량은 개인을 가린다(단원 1-9 §11의 결론과 같다) — 개입을 설계할 때는 지표가 오르는지가 아니라 누구의 값이 오르는지를 봐야 한다.

# 문제 1 — S4-S6 추가
U1 <- U; U1["S4","S6"] <- 1; U1["S6","S4"] <- 1
g1 <- graph_from_adjacency_matrix(U1, mode = "undirected")
d1 <- igraph::degree(g1); d1              # 2 2 3 3 3 3 2
round(d1 / 6, 4)                          # .3333 .3333 .5 .5 .5 .5 .3333
sum(max(d1) - d1)                         # 3
sum(max(d1) - d1) / 30                    # 0.1
centr_degree(g1, mode="all", loops=FALSE)$centralization   # 0.1  ✓
edge_density(g1)                          # 0.4285714 = 9/21

# 문제 2 — S3를 허브로
U2 <- U
for (v in c("S5","S6","S7")) { U2["S3",v] <- 1; U2[v,"S3"] <- 1 }
g2 <- graph_from_adjacency_matrix(U2, mode = "undirected")
d2 <- igraph::degree(g2); d2              # 2 2 6 2 4 3 3
round(d2 / 6, 4)                          # .3333 .3333 1 .3333 .6667 .5 .5
sum(d2) / 2                               # 11   엣지 수
edge_density(g2)                          # 0.5238095 = 11/21
sum(max(d2) - d2)                         # 20
sum(max(d2) - d2) / 30                    # 0.6666667
centr_degree(g2, mode="all", loops=FALSE)$centralization   # 0.6666667  ✓

# S3를 지우면 몇 조각인가
g2_no3 <- delete_vertices(g2, "S3")
igraph::components(g2_no3)$no              # 2
igraph::components(g2_no3)$csize           # 2 4    ← {S1,S2} / {S4,S5,S6,S7}

오늘의 요약. 중심성 $C_D(i) = d_i/(n-1)$ — 개인이 반의 몇 %와 닿는가. 중심화 $C_D = \sum(d_{\max}-d_i)/[(n-1)(n-2)]$ — 학급이 별 모양에 얼마나 가까운가. 우리 네트워크는 $C_D(i)$ 가 0.5 둘, 0.3333 다섯이고 중심화는 0.1667(매우 평등)이다. 그런데 가장 중요한 학생 S4가 최하위로 나왔다 — 연결정도는 거리 1만 보는 국소 지표이기 때문이다. R에서는 centr_degree(g, loops = FALSE)로 호출해야 손 계산과 일치한다.

다음 단원 — 2-2: 근접 중심성 — 거리 합의 역수, $\infty$ 문제. 같은 7명 네트워크에서 "연결정도는 같은데 전체에 더 빨리 닿는 학생"을 구별해 낸다. 단원 1-6에서 구한 거리행렬이 그대로 재료가 되고, S4가 최하위에서 1위로 뒤집히는 것을 확인한다. 그리고 단원 1-6 §9⑤에서 예고한 $\infty$ 문제를 정면으로 다룬다. · 이 문서: notes/10_단원2-1_연결정도_중심성과_중심화.html