고유벡터 중심성과 페이지랭크

1. 오늘의 질문 (Today's Question)

지금까지 세 지표는 모두 개수를 셌다.

세 지표 모두 친구를 한 명 한 명 똑같이 취급한다. S1의 친구 두 명(S2, S3)과 S4의 친구 두 명(S3, S5)은 연결정도로 보면 똑같이 "2명"이다.

그런데 교실에서 우리가 실제로 하는 판단은 다르다. "쟤는 친구가 둘밖에 없지만, 그 둘이 반에서 제일 영향력 있는 애들이야." 이 문장을 숫자로 만들려면 질문을 바꿔야 한다.

오늘 배울 두 지표는 이 순환 문제를 서로 다른 방식으로 푼다. 그리고 같은 학생 S4에게 정반대 판정을 내린다.

2. 순환 정의를 방정식으로 (Turning a Circular Definition into an Equation)

2-1. 말로 쓴 정의 (Definition in Words)

"중요한 친구를 둔 학생이 중요하다." 이 문장을 그대로 식으로 옮기면

$$x_i \;\propto\; \sum_{j=1}^{n} A[i,j]\, x_j$$

오른쪽은 "$i$의 이웃들의 점수를 전부 더한 값"이다. $A[i,j]$가 0이면 그 항은 사라지므로, 결국 이웃의 점수만 더해진다. $\propto$(비례)를 등호로 바꾸려면 비례상수가 필요하다. 그 상수를 $\lambda$라 쓰면

$$\lambda\, x_i \;=\; \sum_{j=1}^{n} A[i,j]\, x_j \qquad\text{즉}\qquad x_i \;=\; \frac{1}{\lambda}\sum_{j=1}^{n} A[i,j]\, x_j$$

이 식을 $n$개 전부 모아 한 줄로 쓰면 고윳값 방정식이 된다.

$$A\mathbf{x} \;=\; \lambda \mathbf{x}$$

2-2. 식의 각 부분이 하는 일 (What Each Part of the Equation Does)

2-3. $\lambda$와 $\mathbf{x}$는 여러 개다 — 어느 것을 쓰는가 (Many Eigenpairs: Which One to Use)

$7 \times 7$ 행렬은 고윳값을 7개 가진다. 우리 $A$의 7개는 (§13에서 검증)

$$2.342923,\quad 2,\quad 0.470683,\quad -1,\quad -1,\quad -1,\quad -1.813607$$

이 중 가장 큰 것 $\lambda_1 = 2.342923$을 쓴다. 이유는 두 가지다.

2-4. 크기 맞추기 — 정규화 (Normalization)

$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$의 해는 상수배만큼 자유롭다. $\mathbf{x}$가 답이면 $2\mathbf{x}$도, $100\mathbf{x}$도 답이다. 그래서 크기를 정하는 약속이 필요한데, 패키지마다 약속이 다르다(§13의 함정). 이 노트는 igraph 방식인 최댓값 = 1을 쓴다.

$$C_E(i) \;=\; \frac{x_i}{\max_k x_k} \qquad\Longrightarrow\qquad 0 \;\le\; C_E(i) \;\le\; 1$$

3. 손 계산 ① 거듭제곱법 (Hand Calculation: Power Iteration)

고윳값 방정식을 푸는 가장 손쉬운 방법은 거듭제곱법이다. 아무 벡터에서 출발해 $A$를 계속 곱하면 저절로 답에 가까워진다. 출발점은 "모두 똑같이 1점"으로 잡는다.

$$\mathbf{x}^{(0)} = (1,1,1,1,1,1,1), \qquad \mathbf{x}^{(k)} = A\,\mathbf{x}^{(k-1)}$$

3-1. 첫 걸음 $\mathbf{x}^{(1)} = A\mathbf{x}^{(0)}$ — 0인 항까지 전부 (First Step, Every Term Included)

$\mathbf{x}^{(1)}[1] = \sum_{j=1}^{7} A[1,j]\cdot x^{(0)}_j$. $A$의 1행은 $(0,1,1,0,0,0,0)$이다.

$$x^{(1)}_1 = 0+1+1+0+0+0+0 = 2$$

일곱 명 모두 같은 방식으로 계산하면, $x^{(0)}$이 전부 1이므로 합은 1의 개수 즉 행합이 된다.

$$\mathbf{x}^{(1)} \;=\; (2,\,2,\,3,\,2,\,3,\,2,\,2)$$

3-2. 둘째 걸음 $\mathbf{x}^{(2)} = A\mathbf{x}^{(1)}$ — 세 명 전개 (Second Step: Three Students Expanded)

이제 $x^{(1)}$이 전부 1이 아니므로 친구가 누구냐가 처음으로 반영된다.

$$\mathbf{x}^{(2)} \;=\; (5,\,5,\,6,\,6,\,6,\,5,\,5)$$

3-3. 열 걸음 전부 (All Ten Iterations)

각 줄 오른쪽은 최댓값으로 나눈 값(=그 시점의 $C_E$ 근사)이다.

두 가지가 동시에 수렴한다.

3-4. 왜 위아래로 흔들리며 수렴하는가 (Why It Oscillates as It Converges)

S4 열을 보면 $1.0 \to 0.75 \to 0.9412 \to 0.7907 \to 0.9053 \to \cdots$ 로 정답 $0.8536$을 번갈아 넘나든다. 곧장 다가가지 않는다.

이유는 다른 고윳값들에 있다. 출발 벡터 $(1,1,\dots,1)$을 7개 고유벡터로 분해하면, 계수가 0이 아닌 것은 셋뿐이다(§13에서 검증).

$$\lambda_1 = 2.342923, \qquad \lambda = 0.470683, \qquad \lambda = -1.813607$$

$\lambda = 2$와 $\lambda = -1$짜리는 계수가 정확히 0이다 — 이 네트워크의 좌우 대칭(§4) 때문에 모두-1 벡터와 직교하기 때문이다. 남은 셋 중 $\lambda_1$ 다음으로 큰 것이 음수 $-1.813607$이라서 오차의 부호가 매 걸음 뒤집힌다. 오차가 줄어드는 속도는

$$\frac{|-1.813607|}{2.342923} \;=\; 0.7741$$

즉 한 걸음마다 오차가 약 77%로만 줄어든다. 10걸음을 가도 $0.8719$로 아직 완전히 도착하지 못한 이유다. 손으로 정확한 값을 얻으려면 §4처럼 방정식을 직접 풀어야 한다.

4. 손 계산 ② 대칭성으로 정확한 답 구하기 (Exact Solution via Symmetry)

4-1. 이 네트워크는 좌우 대칭이다 (The Network Is Left-Right Symmetric)

$U$를 자세히 보면 왼쪽 삼각형 {S1,S2,S3}과 오른쪽 삼각형 {S5,S6,S7}이 거울상이고, S4가 한가운데 있다. 다음과 같이 이름을 바꿔도 네트워크가 그대로다.

$$\text{S1}\leftrightarrow\text{S6},\qquad \text{S2}\leftrightarrow\text{S7},\qquad \text{S3}\leftrightarrow\text{S5},\qquad \text{S4}\leftrightarrow\text{S4}$$

게다가 왼쪽 삼각형 안에서 S1과 S2도 서로 바꿔도 똑같다(둘 다 S3와 서로에게만 연결). 답이 유일하므로(§2-3), 점수도 이 대칭을 따라야 한다. 미지수가 7개에서 3개로 줄어든다.

$$x_1 = x_2 = x_6 = x_7 = a, \qquad x_3 = x_5 = b, \qquad x_4 = c$$

4-2. 세 개의 방정식 — 0인 항까지 전부 (Three Equations, Every Term Included)

$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$의 1행, 3행, 4행만 쓰면 충분하다(나머지는 대칭으로 같은 식).

$$\text{(i)}\;\; a + b = \lambda a \qquad \text{(ii)}\;\; 2a + c = \lambda b \qquad \text{(iii)}\;\; 2b = \lambda c$$

4-3. 세 식을 하나로 — $\lambda$의 3차방정식 (Combining Into a Cubic)

이 3차방정식의 세 근이 바로 계수가 0이 아니었던 그 세 고윳값이다(§3-4).

$$\lambda = 2.3429231, \qquad \lambda = 0.4706834, \qquad \lambda = -1.8136065$$

4-4. 점수 세 개 — 정확한 꼴 (Three Scores in Exact Form)

$b = 1$로 두면(최댓값을 1로 맞추는 것과 같다) 1·2단계에서 곧바로

$$a = \frac{1}{\lambda_1 - 1} = \frac{1}{1.3429231} = 0.7446443, \qquad c = \frac{2}{\lambda_1} = \frac{2}{2.3429231} = 0.8536345$$

§3-3 표의 극한값과 정확히 일치한다. 손으로 푼 3차방정식이 거듭제곱법 10걸음보다 정확하다.

5. 값 읽기 — 연결정도가 같은데 점수가 다르다 (Reading the Values)

5-1. 이웃합 표 — 정의를 그대로 확인 (Neighbor-Sum Table: Checking the Definition)

정의는 "이웃 점수의 합을 $\lambda$로 나눈 것"이었다. 일곱 명 전부 확인해 보자.

5-2. 오늘의 핵심 비교 — S4 대 S1 (The Key Comparison: S4 vs S1)

둘 다 연결정도 2다. 그런데 점수가 다르다.

5-3. 지금까지 네 지표의 판정 (What the Four Measures Say So Far)

고유벡터 중심성은 연결정도와 순위가 같다(S3·S5가 1위). 하지만 동점을 깨뜨렸다 — 연결정도가 2로 똑같던 다섯 명 중 S4만 따로 3위로 떼어 놓았다. 반대로 S4를 1위로 올렸던 근접·매개와는 갈라진다.

6. $\lambda_1$은 무엇을 재는가 (What the Leading Eigenvalue Measures)

6-1. 평균 연결정도와 최대 연결정도 사이 (Between Mean and Maximum Degree)

$\lambda_1$은 아무 숫자가 아니다. 항상 다음 범위에 갇힌다.

$$\bar{d} \;\le\; \lambda_1 \;\le\; d_{\max} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{16}{7} = 2.2857 \;\le\; 2.342923 \;\le\; 3$$

그래서 $\lambda_1$을 "실효 평균 연결정도"로 읽을 수 있다. 평균은 2.29지만, 연결이 많은 학생끼리 서로 붙어 있으면 $\lambda_1$이 평균보다 위로 올라간다. 우리 네트워크는 2.343으로 평균보다 조금 높다 — 삼각형 두 개 때문이다.

6-2. $\lambda_1$은 걷기 개수의 증가율이다 — 단원 1-2·1-3과 만나는 지점 (The Growth Rate of Walk Counts)

§3-3 표의 "합" 열을 다시 보자: $7,\,16,\,38,\,88,\,208,\,484,\dots$ 그런데 $\mathbf{x}^{(k)}$의 성분은 정의상

$$x^{(k)}_i \;=\; \sum_{j=1}^{n} (A^k)[i,j] \qquad\Longrightarrow\qquad \text{합}^{(k)} \;=\; \sum_{i}\sum_{j} (A^k)[i,j]$$

즉 길이 $k$짜리 걷기(walk)의 총 개수다. 단원 1-2에서 $A^2$, 단원 1-3에서 $A^3$로 셌던 바로 그 수다. R로 $\sum A^k$를 직접 계산하면 §3-3의 합 열과 완전히 같다(§13에서 검증).

7. 고유벡터 중심성이 무너지는 곳 (Where Eigenvector Centrality Breaks)

지금까지는 무방향 네트워크였다. 방향이 생기면 상황이 완전히 달라진다. 4명짜리 "정보 전달" 네트워크를 보자. 화살표는 "내가 그 애에게 알려 준다"이다.

$$T_1 \to T_2, \qquad T_1 \to T_3, \qquad T_2 \to T_3, \qquad T_3 \to T_4$$ $$A \;=\; \begin{array}{c|cccc} & T_1 & T_2 & T_3 & T_4 \\ \hline T_1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ T_2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ T_3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ T_4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$$

7-1. 거듭제곱하면 사라진다 (Powers Drive It to Zero)

$A$를 계속 곱해 보자.

길이 4짜리 걷기가 하나도 없다. 화살표를 거꾸로 갈 수 없으므로 어디서 출발해도 3걸음 안에 막다른 곳($T_4$)에 닿는다. 따라서 모든 고윳값이 0이다.

$$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0$$

7-2. 방향 네트워크에서 고유벡터 중심성의 근본 문제 (The Core Problem in Directed Networks)

구글이 웹페이지 순위를 매길 때 부딪힌 문제가 정확히 이것이다. 웹 링크는 방향이 있고, 나가는 링크가 없는 페이지가 수없이 많다. 이를 고치려고 만든 것이 페이지랭크다.

8. 페이지랭크 — 표를 나누어 준다 (PageRank: Splitting the Vote)

8-1. 정의 (Definition)

$$PR(i) \;=\; \frac{1-d}{n} \;+\; d \sum_{j \,:\, j \to i} \frac{PR(j)}{k^{out}_j}$$

$k^{out}_j$는 $j$의 나가는 연결정도(무방향이면 그냥 연결정도), $d$는 감쇠계수(damping factor)로 관례상 $d = 0.85$를 쓴다.

8-2. 고유벡터 중심성과 무엇이 다른가 — 두 군데만 바뀌었다 (Two Changes from Eigenvector Centrality)

8-3. 감쇠계수 $d$의 뜻 — 무작위로 돌아다니는 학생 (The Damping Factor: A Randomly Wandering Student)

페이지랭크는 무작위 산책(random walk)으로 읽는 것이 가장 직관적이다. 소문 하나가 교실을 떠돈다고 하자. 매 걸음마다

충분히 오래 돌아다닌 뒤 각 학생에게 머물 확률이 페이지랭크다. 0.15의 순간이동이 있기 때문에 막다른 학생에게 갇히지 않고, 아무도 지명 안 한 학생도 확률이 0이 되지 않는다.

9. 손 계산 ③ 페이지랭크 첫 걸음 (Hand Calculation: PageRank Step 1)

다시 무방향 $U$로 돌아온다. 모두 같은 확률에서 출발한다.

$$PR^{(0)}(i) = \frac{1}{7} = 0.142857 \quad (\text{모든 } i)$$

9-1. 준비 — 각자 친구 한 명에게 얼마씩 주는가 (Setup: How Much Each Passes to a Friend)

각 학생은 자기 점수를 친구 수로 나누어 친구 한 명당 그만큼 보낸다.

여기서 이미 반전의 씨앗이 보인다. 친구가 많은 S3와 S5가 가장 적게 보낸다(0.0476 vs 0.0714). 고유벡터 중심성에서는 S3, S5가 만점(1.0)을 통째로 보냈다. 완전히 반대다.

기본 점수는 모두 같다.

$$\frac{1-d}{n} = \frac{1-0.85}{7} = \frac{0.15}{7} = \frac{3}{140} = 0.0214286$$

9-2. $PR^{(1)}(\text{S1})$ — 0인 항까지 전부 (Every Term Included)

$A$의 1행은 $(0,1,1,0,0,0,0)$이다.

$$PR^{(1)}(\text{S1}) \;=\; \frac{3}{140} + 0.85 \times 0.1190476 \;=\; 0.0214286 + 0.1011905 \;=\; \mathbf{0.1226190}$$

9-3. $PR^{(1)}(\text{S3})$와 $PR^{(1)}(\text{S4})$

$$PR^{(1)}(\text{S3}) = \frac{3}{140} + 0.85 \times \frac{3}{14} = 0.0214286 + 0.1821429 = \mathbf{0.2035714}$$ $$PR^{(1)}(\text{S4}) = \frac{3}{140} + 0.85 \times \frac{2}{21} = 0.0214286 + 0.0809524 = \mathbf{0.1023810}$$

9-4. 수렴 (Convergence)

여기서도 §3-3처럼 위아래로 흔들리며 수렴한다(S4: 0.1024 → 0.1368 → 0.1173 → 0.1297 → …). 15걸음이면 소수 넷째 자리까지 맞는다.

10. S4가 페이지랭크 꼴찌인 이유 (Why S4 Ranks Last)

수렴한 값을 정의에 다시 넣어 왜 그 순서인지 확인한다. S4와 S1은 둘 다 연결정도 2인데 결과가 갈렸다.

10-1. S4가 받는 것 (What S4 Receives)

$$PR(\text{S4}) = \frac{3}{140} + 0.85 \times 0.1218687 = 0.0214286 + 0.1035884 = \mathbf{0.1250170}$$

10-2. S1이 받는 것 (What S1 Receives)

$$PR(\text{S1}) = \frac{3}{140} + 0.85 \times 0.1246063 = 0.0214286 + 0.1059154 = \mathbf{0.1273441}$$

10-3. 차이는 어디서 나왔나 (Where the Difference Comes From)

$$0.0027376 \times 0.85 \;=\; 0.0023270 \;=\; 0.1273441 - 0.1250170 \quad\checkmark$$

10-4. 같은 학생, 정반대 판정 (Same Student, Opposite Verdicts)

11. 무방향 네트워크에서 페이지랭크 ≈ 연결정도 (On Undirected Graphs, PageRank ≈ Degree)

페이지랭크 값을 연결정도의 몫과 나란히 놓아 보자.

$$\frac{d_i}{2m} = \frac{d_i}{16} \qquad (m = 8 \text{ 간선, } 2m = 16 = \textstyle\sum_i d_i,\ \text{단원 1-4의 악수 정리})$$

거의 같다. 그리고 $d$를 1에 가깝게 올리면 정확히 같아진다.

12. 중심화 — 그리고 별이 1이 아닌 이유 (Centralization: Why the Star Is Not 1)

Freeman 중심화 공식은 지금까지와 같다(단원 2-1 §7).

$$C_E^{\text{중심화}} \;=\; \frac{\sum_{i=1}^{n}\bigl(C_E^{\max} - C_E(i)\bigr)}{t_{\max}}, \qquad t_{\max} = n - 2 = 5 \;\;\text{(igraph)}$$

12-1. 우리 네트워크 (Our Network)

$$C_E^{\text{중심화}} \;=\; \frac{1.167788}{5} \;=\; \mathbf{0.233558}$$

12-2. 함정 — 별 모양이 1이 아니다 (The Pitfall: The Star Is Not 1)

지금까지 세 지표는 모두 별 모양에서 정확히 1이었다. 고유벡터는 아니다.

12-3. 네 중심화 값 (같은 네트워크) (Four Centralization Values)

13. R로 검증 (Verification in R)

library(igraph)
nm <- paste0("S", 1:7)
U  <- matrix(0, 7, 7, dimnames = list(nm, nm))
el <- rbind(c("S1","S2"), c("S1","S3"), c("S2","S3"), c("S3","S4"),
            c("S4","S5"), c("S5","S6"), c("S5","S7"), c("S6","S7"))
for (i in 1:nrow(el)) { U[el[i,1], el[i,2]] <- 1; U[el[i,2], el[i,1]] <- 1 }
g <- graph_from_adjacency_matrix(U, mode = "undirected")

# --- 고윳값 7개 ---
eigen(U)$values
# 2.342923  2.000000  0.470683 -1.000000 -1.000000 -1.000000 -1.813607

# --- 고유벡터 중심성 (최대=1 정규화) ---
eigen_centrality(g)$vector
# 0.744644 0.744644 1.000000 0.853635 1.000000 0.744644 0.744644
eigen_centrality(g)$value
# 2.34292308278   ← lambda_1

# --- 3차방정식이 맞는지 (§4-3) ---
polyroot(c(2, -4, -1, 1))          # 2 - 4L - L^2 + L^3
# 0.4706834  -1.8136065  2.3429231
1 / (2.3429231 - 1)                # 0.7446443  = a
2 / 2.3429231                      # 0.8536345  = c

# --- 거듭제곱법 = 걷기 개수 (§6-2) ---
x <- rep(1, 7); for (k in 1:5) { x <- as.vector(U %*% x); cat(k, sum(x), "\n") }
# 1 16 / 2 38 / 3 88 / 4 208 / 5 484
M <- diag(7); for (k in 1:5) { M <- M %*% U; cat(k, sum(M), "\n") }
# 1 16 / 2 38 / 3 88 / 4 208 / 5 484   ← 같다

# --- 페이지랭크 ---
page_rank(g)$vector                # damping 기본값 0.85
# 0.127344 0.127344 0.182803 0.125017 0.182803 0.127344 0.127344
sum(page_rank(g)$vector)           # 1
igraph::degree(g) / sum(igraph::degree(g))
# 0.125 0.125 0.1875 0.125 0.1875 0.125 0.125   ← d→1의 극한

# --- 중심화 ---
centr_eigen(g)$centralization      # 0.2335577
centr_eigen(g)$theoretical_max     # 5  (= n-2)
centr_eigen(make_star(7, mode="undirected"))$centralization
# 0.7101021   ← 별인데도 1이 아니다 (§12-2)

13-1. 함정 ① — sna::evcent는 다른 자를 쓴다 (Pitfall I: sna::evcent Uses a Different Scale)

library(sna)
sna::evcent(U, gmode = "graph")
# 0.334805 0.334805 0.449618 0.383809 0.449618 0.334805 0.334805

값이 전혀 다르다. sna는 벡터 길이를 1로 맞추고($\sqrt{\sum x_i^2} = 1$), igraph는 최댓값을 1로 맞춘다. 서로 상수배 관계이므로 순위는 같지만 값은 다르다.

$$\frac{0.334805}{0.449618} = 0.744644 \quad\text{(= igraph 값)}$$

두 값의 비 자체도 의미가 있다 — 최댓값 대 최솟값의 비는 §4에서 구한 $b/a$이므로

$$\frac{0.449618}{0.334805} = 1.342923 = \lambda_1 - 1$$

두 패키지 값을 같은 표에 섞어 쓰면 안 된다. 단원 2-3 §10의 sna::betweenness(rescale=TRUE) 함정과 같은 종류다.

13-2. 함정 ② — 방향 네트워크에서 조용히 틀린 답 (Pitfall II: Silently Wrong in Directed Networks)

Dm <- matrix(0, 4, 4, dimnames = list(paste0("T",1:4), paste0("T",1:4)))
Dm["T1","T2"] <- 1; Dm["T1","T3"] <- 1; Dm["T2","T3"] <- 1; Dm["T3","T4"] <- 1
gd <- graph_from_adjacency_matrix(Dm, mode = "directed")

eigen_centrality(gd, directed = TRUE)$vector
# 0 0 0 1        ← 경고 없이 나오는 쓰레기 값
eigen_centrality(gd, directed = TRUE)$value
# 0              ← 이것이 유일한 단서. lambda_1 = 0이면 버릴 것

page_rank(gd)$vector
# 0.120452 0.171644 0.317542 0.390362   ← 전원 양수, 정상 동작

13-3. 함정 ③ — 이름 가림(masking)은 여기서도 (Pitfall III: Name Masking Again)

environmentName(environment(evcent))   # "sna"

degree, closeness, betweenness, components에 이어 evcent도 sna가 가린다. 항상 igraph:: / sna::를 붙일 것. (다만 eigen_centrality와 page_rank는 igraph에만 있어 충돌하지 않는다.)

14. 다섯 지표 종합과 교실 적용 (All Five Measures; Classroom Application)

학생 7명에 대해 다섯 지표가 세 종류의 1위를 내놓았다: S3·S5(연결정도·고유벡터·페이지랭크), S4(근접·매개).

15. 연습문제 (Exercises)

16. 해설과 답 (Solutions)

16-1. 연습문제 1 — S4–S6 추가 (Exercise 1: Adding S4–S6)

① 무엇을 곱하는가

바뀐 인접행렬. 새로 1이 된 칸을 표시했다.

$$A' \;=\; \begin{array}{c|ccccccc} & \text{S1} & \text{S2} & \text{S3} & \text{S4} & \text{S5} & \text{S6} & \text{S7} \\ \hline \text{S1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S2} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S3} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S4} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} & 0 \\ \text{S5} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \text{S6} & 0 & 0 & 0 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} & 1 & 0 & 1 \\ \text{S7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$

② 전개 — $\mathbf{x}^{(1)}$

$\mathbf{x}^{(0)}$이 전부 1이므로 $\mathbf{x}^{(1)}$은 행합, 곧 연결정도다.

$$\mathbf{x}^{(1)} = (2,\,2,\,3,\,3,\,3,\,3,\,2)$$

③ 전개 — $\mathbf{x}^{(2)} = A'\mathbf{x}^{(1)}$, 0인 항까지 전부

④ 전개 — $\mathbf{x}^{(3)} = A'\mathbf{x}^{(2)}$

⑤ (2)의 답 — 연결정도 3인 네 명이 갈린 이유

정확한 답 $\mathbf{x} = (0.3691,\,0.3691,\,0.6309,\,0.9711,\,1,\,1,\,0.7382)$, $\lambda_1 = 2.709275$로 이웃합을 확인한다.

덤으로 S1과 S7도 확인해 두면 재미있다.

⑥ (3)의 답 — S3의 점수가 떨어진 이유

16-2. 연습문제 2 — 허브 S3 (Exercise 2: Hub S3)

① 무엇을 곱하는가

$$A'' \;=\; \begin{array}{c|ccccccc} & \text{S1} & \text{S2} & \text{S3} & \text{S4} & \text{S5} & \text{S6} & \text{S7} \\ \hline \text{S1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S2} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S3} & 1 & 1 & 0 & 1 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} \\ \text{S4} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{S5} & 0 & 0 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \text{S6} & 0 & 0 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \text{S7} & 0 & 0 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{1}} & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$

연결정도: $(2,\,2,\,\mathbf{6},\,2,\,4,\,3,\,3)$

② 전개 — $\mathbf{x}^{(1)}$과 $\mathbf{x}^{(2)}$

$$\mathbf{x}^{(1)} = (2,\,2,\,6,\,2,\,4,\,3,\,3)$$

$\mathbf{x}^{(2)}[3]$을 0인 항까지 전부:

③ (2)의 답 — S4가 또 꼴찌인 이유

각 학생이 친구 한 명에게 보내는 양부터 구한다(수렴한 $PR$ 기준).

이제 S1과 S4가 받는 양을 각각 계산한다.

④ (3)의 답 — 네 중심화를 나란히

16-3. 오늘의 한 줄 요약 (One-Line Summary)

다음 단원 — 2-5: 가중 네트워크의 중심성 (tnet, $\alpha$ 조절). 지금까지 다섯 지표는 모두 간선을 있다/없다로만 보았다. 단원 1-8에서 만든 가중 네트워크 $W$(친밀도 4, 2, 1, …)를 꺼내 "친구 수와 친밀도 합 중 무엇을 볼 것인가"를 $\alpha$ 하나로 조절하는 법을 배운다. 연결정도 $d_i$와 강도 $s_i$를 $d_i^{1-\alpha} s_i^{\alpha}$로 섞는다.