가중 네트워크의 중심성 — α 하나로 순위가 바뀐다

1. 오늘의 질문 (Today's Question)

단원 2-1부터 2-4까지 다섯 지표는 모두 간선을 있다/없다로만 보았다. 그런데 교실의 관계는 그렇지 않다.

단원 1-8에서 만든 가중 네트워크 $W$를 그대로 쓴다. 숫자는 친밀도(클수록 친함)다.

$$W \;=\; \begin{array}{c|ccccccc} & \text{S1} & \text{S2} & \text{S3} & \text{S4} & \text{S5} & \text{S6} & \text{S7} \\ \hline \text{S1} & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S2} & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S3} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S4} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{S5} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ \text{S6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ \text{S7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \end{array}$$

2. 강도 — 가중치의 첫 번째 얼굴 (Strength: The First Face of Weight)

2-1. 정의 (Definition)

연결정도가 1의 개수를 세는 행합이었다면(단원 1-4), 강도는 가중치를 더하는 행합이다.

$$d_i \;=\; \sum_{j=1}^{n} A[i,j] \qquad\qquad s_i \;=\; \sum_{j=1}^{n} W[i,j]$$

2-2. 손 계산 — 일곱 명 전부, 0인 항까지 (Hand Calculation: All Seven, Every Term)

2-3. 가중 악수 정리 (Weighted Handshake Theorem)

단원 1-4의 악수 정리가 그대로 확장된다. 간선 하나의 가중치는 양끝 두 명의 강도에 각각 더해지므로

$$\sum_{i=1}^{n} s_i \;=\; 2\sum_{\text{간선}} w \qquad\Longrightarrow\qquad 32 \;=\; 2 \times (4+2+1+1+1+3+2+2) \;=\; 2 \times 16 \;\checkmark$$ $$\bar{s} \;=\; \frac{32}{7} \;=\; 4.5714$$

3. 손 계산 ① 강도가 잃어버리는 것 (What Strength Throws Away)

연결정도와 강도를 나란히 놓으면 서로 다른 두 학생 쌍에서 문제가 드러난다.

4. Opsahl의 α — 두 요약을 하나로 (Opsahl's Alpha)

4-1. 정의 (Definition)

Opsahl, Agneessens & Skvoretz(2010)는 두 값을 거듭제곱으로 섞는 방법을 제안했다.

$$C_D^{w\alpha}(i) \;=\; d_i^{\,1-\alpha} \times s_i^{\,\alpha} \qquad (\alpha \ge 0)$$

4-2. α를 움직이면 무슨 일이 일어나는가 (What Happens as α Moves)

5. 손 계산 ② α = 0.5는 기하평균이다 (Alpha = 0.5 Is the Geometric Mean)

$\alpha = 0.5$에서는 제곱근 하나만 계산하면 된다. 일곱 명 전부 손으로.

5-1. 세 개의 α를 한 표에 (Three Values of α in One Table)

순위로 바꾸면 변화가 더 뚜렷하다.

S3는 1위에서 6위로 떨어지고, S1은 3위에서 1위로 올라간다. 같은 데이터·같은 공식인데 $\alpha$ 하나로 결론이 뒤집힌다.

6. 손 계산 ③ 순위가 뒤집히는 α 구하기 (Solving for the Crossing Point)

6-1. S1과 S3는 어디서 만나는가 (Where S1 and S3 Cross)

S1은 $(d,s) = (2,6)$, S3는 $(3,4)$다. 두 값이 같아지는 $\alpha$를 구한다.

$$2^{1-\alpha}\, 6^{\alpha} \;=\; 3^{1-\alpha}\, 4^{\alpha}$$

6-2. S1과 S5는 어디서 만나는가 (Where S1 and S5 Cross)

S1은 $(2,6)$, S5는 $(3,6)$ — 강도가 같고 친구 수만 다르다.

$$\frac{C_{S5}}{C_{S1}} = \frac{3^{1-\alpha}\,6^{\alpha}}{2^{1-\alpha}\,6^{\alpha}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{1-\alpha}$$

$6^{\alpha}$가 약분되어 사라진다. 남은 것은 $(3/2)^{1-\alpha}$뿐이다.

7. 비용 — 가중치의 두 번째 얼굴 (Cost: The Second Face of Weight)

근접·매개 중심성은 거리를 쓴다(단원 2-2, 2-3). 그런데 우리 $W$의 숫자는 거리가 아니다.

$$\text{비용}(i,j) \;=\; \frac{1}{W[i,j]}$$

8. 손 계산 ④ 가중 최단경로와 우회 (Weighted Shortest Paths and the Detour)

8-1. 오늘의 놀라움 — 직접 연결을 놔두고 돌아간다 (The Surprise: Detouring Past a Direct Tie)

S2에서 S3로 가는 길을 보자. 둘은 직접 친구다(간선 존재, $w=1$).

8-2. S1에서 출발하는 여섯 개의 길 — 전부 전개 (Six Paths from S1, Fully Expanded)

8-3. 가중 거리 행렬 전체 (The Full Weighted Distance Matrix)

보라색 칸이 우회로 얻어진 값이다(직접 간선의 비용 1보다 작은 0.75).

9. 우회가 시작되는 α — 황금비 (When the Detour Wins: The Golden Ratio)

거리에도 $\alpha$ 손잡이를 달 수 있다. Opsahl은 비용을 이렇게 정의한다.

$$\text{비용}_{\alpha}(i,j) \;=\; \left(\frac{1}{W[i,j]}\right)^{\alpha}$$

9-1. 우회가 이기는 조건 (When the Detour Wins)

S2→S3의 두 후보를 $\alpha$로 다시 쓴다.

$$\underbrace{\left(\tfrac{1}{4}\right)^{\alpha} + \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\alpha}}_{\text{우회 S2-S1-S3}} \;\;<\;\; \underbrace{\left(\tfrac{1}{1}\right)^{\alpha} = 1}_{\text{직접 S2-S3}}$$

9-2. 손으로 푼다 — 2차방정식이 나온다 (Solving by Hand: A Quadratic Appears)

9-3. 임계점 앞뒤에서 무슨 일이 일어나는가 (On Either Side of the Threshold)

$\alpha$가 0.694를 넘는 순간 S1의 매개 중심성이 0에서 5로 튄다. 연속적으로 커지는 것이 아니라 계단처럼 뛴다 — 최단경로가 바뀌는 순간 통째로 바뀌기 때문이다.

10. 가중 근접 중심성 (Weighted Closeness)

정의는 단원 2-2와 같다. 거리만 가중 거리로 바꾼다.

$$C_C^{w}(i) \;=\; \frac{n-1}{\sum_{j \neq i} d^{w}(i,j)} \;=\; \frac{6}{\sum_j d^{w}(i,j)}$$

10-1. S2는 왜 꼴찌인가 — 가장 강한 관계를 가졌는데 (Why S2 Ranks Last Despite the Strongest Tie)

S2는 이 네트워크에서 가장 강한 간선(S1–S2, $w=4$)의 당사자다. 그런데 근접 꼴찌다.

11. 가중 매개 중심성 — S1이 처음으로 0을 벗어나다 (Weighted Betweenness)

정의는 단원 2-3과 같다. 최단경로를 가중 최단경로로 바꾸기만 한다.

$$b_i \;=\; \sum_{j \neq i \neq k} \frac{g_{jk}(i)}{g_{jk}}$$

11-1. S1의 5점은 어디서 왔나 — 다섯 쌍 전부 (Where S1's 5 Comes From: All Five Pairs)

S2에서 출발하는 모든 길이 S1을 지난다(§10-1). 그 쌍을 전부 세면 된다.

무가중에서는 S2-S3가 직접 연결이라 S2의 모든 길이 S3로 바로 빠졌다. 그래서 S1은 어느 최단경로에도 없었다.

12. 가중 고유벡터와 페이지랭크 (Weighted Eigenvector and PageRank)

12-1. 가중 고유벡터 중심성 (Weighted Eigenvector Centrality)

단원 2-4의 식에서 $A$를 $W$로 바꾸기만 하면 된다.

$$W\mathbf{x} = \lambda_1 \mathbf{x} \qquad\Longrightarrow\qquad x_i = \frac{1}{\lambda_1}\sum_j W[i,j]\, x_j$$

거듭제곱법의 첫 걸음이 강도가 된다(무가중에서 연결정도였던 것과 같은 자리).

$k=2$의 손 계산 두 개만 확인하자(0인 항은 생략 없이).

12-2. 이웃합 확인 — 정의 그대로 (Checking the Neighbor Sum)

12-3. 가중 페이지랭크 — 단원 2-4의 경고가 그대로 (Weighted PageRank: The Same Warning)

페이지랭크도 가중치를 받는다. 이웃에게 가중치 비율대로 점수를 쪼개 준다.

$$PR(i) \;=\; \frac{1-d}{n} \;+\; d \sum_{j} \frac{W[j,i]}{s_j}\, PR(j)$$

단원 2-4 §11의 경고가 그대로 반복된다 — 무방향 네트워크에서 페이지랭크는 강도 몫 $s_i/2\sum w$에 거의 붙어 있다. 차이가 최대 0.0128뿐이다. 그리고 S4는 여전히 꼴찌다(0.0753).

13. R로 검증 — 함정 세 가지 (Verification in R: Three Traps)

library(igraph)
nm <- paste0("S", 1:7)
W  <- matrix(0, 7, 7, dimnames = list(nm, nm))
el <- rbind(c("S1","S2",4), c("S1","S3",2), c("S2","S3",1), c("S3","S4",1),
            c("S4","S5",1), c("S5","S6",3), c("S5","S7",2), c("S6","S7",2))
for (i in 1:nrow(el)) {
  a <- el[i,1]; b <- el[i,2]; w <- as.numeric(el[i,3])
  W[a,b] <- w; W[b,a] <- w
}
gW <- graph_from_adjacency_matrix(W, mode = "undirected", weighted = TRUE)

d <- rowSums(W > 0)      # 2 2 3 2 3 2 2   연결정도
s <- rowSums(W)          # 6 5 4 2 6 5 4   강도
sum(s)                   # 32 = 2 * 16     가중 악수 정리

# --- Opsahl alpha-degree ---
for (a in c(0, 0.5, 1, 1.5)) print(round(d^(1-a) * s^a, 4))
# 2.0000 2.0000 3.0000 2.0000 3.0000 2.0000 2.0000
# 3.4641 3.1623 3.4641 2.0000 4.2426 3.1623 2.8284
# 6.0000 5.0000 4.0000 2.0000 6.0000 5.0000 4.0000
# 10.3923 7.9057 4.6188 2.0000 8.4853 7.9057 5.6569

# --- 가중 최단거리: 비용 = 1/w 를 직접 넘긴다 ---
Dw <- distances(gW, weights = 1 / E(gW)$weight)
round(Dw["S2", ], 4)
# S1   S2   S3     S4     S5     S6     S7
# 0.25 0.00 0.75  1.75   2.75  3.0833  3.25

shortest_paths(gW, "S2", "S3", weights = 1/E(gW)$weight)$vpath[[1]]
# S2 S1 S3     ← 직접 간선이 있는데도 우회!

# --- 가중 근접·매개 ---
round(6 / rowSums(Dw), 4)
# 0.5669 0.5070 0.6606 0.7423 0.6606 0.5760 0.5333
igraph::betweenness(gW, weights = 1/E(gW)$weight)
# 5 0 8 9 8 0 0        ← S1이 0에서 5로
igraph::betweenness(gW, weights = rep(1, 8))
# 0 0 8 9 8 0 0        ← 무가중 대조

# --- 황금비 임계점 (§9) ---
phi <- (1 + sqrt(5)) / 2          # 1.618034
astar <- log2(phi)                # 0.6942419
4^(-astar) + 2^(-astar)           # 1   정확히 경계

# --- 가중 고유벡터·페이지랭크 ---
round(eigen_centrality(gW)$vector, 4)
# 1.0000 0.9303 0.6251 0.1772 0.2556 0.2334 0.1967
eigen_centrality(gW)$value        # 4.971440
round(page_rank(gW)$vector, 4)
# 0.1786 0.1502 0.1296 0.0753 0.1858 0.1541 0.1265
round(s / sum(s), 4)
# 0.1875 0.1563 0.1250 0.0625 0.1875 0.1563 0.1250   ← 거의 같다

13-1. 함정 ① 가중치를 거리로 그냥 넘기면 결과가 뒤집힌다 (Pitfall I: Passing Weights as Distances Flips the Result)

distances(gW)["S1", ]           # weights 인자 생략 → E(g)$weight 를 그대로 거리로 사용
# S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
#  0  3  2  3  4  7  6      ← S1-S2 가 "3"?  직접 간선인데?

distances(gW, weights = 1/E(gW)$weight)["S1", ]
# 0.0000 0.2500 0.5000 1.5000 2.5000 2.8333 3.0000   ← 올바름

13-2. 함정 ② tnet의 closeness_w는 값이 절반이다 (Pitfall II: tnet's closeness_w Is Half)

library(tnet)
ed <- NULL
for (i in 1:7) for (j in 1:7) if (W[i,j] > 0) ed <- rbind(ed, c(i, j, W[i,j]))
colnames(ed) <- c("i","j","w")
tn <- as.tnet(ed, type = "weighted one-mode tnet")

degree_w(tn, measure = "alpha", alpha = 0.5)[, "alpha"]
# 3.4641 3.1623 3.4641 2.0000 4.2426 3.1623 2.8284   ← 손 계산과 일치
betweenness_w(tn, alpha = 1)[, "betweenness"]
# 5 0 8 9 8 0 0                                      ← igraph와 일치

closeness_w(tn, alpha = 1)[, "closeness"]
# 0.047244 0.042254 0.055046 0.061856 0.055046 0.048000 0.044444
1 / rowSums(Dw)
# 0.094488 0.084507 0.110092 0.123711 0.110092 0.096000 0.088889   ← 정확히 2배

대칭 엣지리스트(양방향 모두 기재)를 넣으면 tnet이 거리 합을 두 번 세기 때문이다. 순위는 같으므로 순위만 볼 때는 문제없지만, 값을 노트에 적을 때는 반드시 확인해야 한다. 단원 2-3 §10의 sna::betweenness(rescale=TRUE), 단원 2-4 §13-1의 sna::evcent와 같은 종류의 함정이다.

13-3. 함정 ③ α는 두 곳에 있고 뜻이 같다 (Pitfall III: α Appears Twice with One Meaning)

for (a in c(0, 0.5, 1)) print(round(6 / rowSums(distances(gW, weights = (1/E(gW)$weight)^a)), 4))
# 0.4000 0.4000 0.5455 0.6000 0.5455 0.4000 0.4000   ← alpha=0, 단원 2-2와 동일
# 0.4870 0.4353 0.6005 0.6673 0.6005 0.4878 0.4633   ← alpha=0.5
# 0.5669 0.5070 0.6606 0.7423 0.6606 0.5760 0.5333   ← alpha=1

$\alpha = 0$이 단원 2-2의 무가중 근접값과 정확히 같다는 점을 확인하라. 두 $\alpha$는 표기만 같은 것이 아니라 "가중치를 얼마나 믿을 것인가"라는 같은 손잡이다.

14. 종합과 교실 적용 (Summary; Classroom Application)

15. 연습문제 (Exercises)

16. 해설과 답 (Solutions)

16-1. 연습문제 1 — 다리 강화 (S3–S4: 1 → 5) (Exercise 1: Strengthening the Bridge)

① 무엇을 곱하는가 — 바뀐 가중 행렬

$$W' \;=\; \begin{array}{c|ccccccc} & \text{S1} & \text{S2} & \text{S3} & \text{S4} & \text{S5} & \text{S6} & \text{S7} \\ \hline \text{S1} & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S2} & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \text{S3} & 2 & 1 & 0 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{5}} & 0 & 0 & 0 \\ \text{S4} & 0 & 0 & \textcolor{#b91c1c}{\mathbf{5}} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \text{S5} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ \text{S6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ \text{S7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \end{array}$$

② 전개 — 강도 (1)의 답

③ 전개 — α-연결정도 (2)의 답

연결정도 $d$는 변하지 않는다: $(2,2,3,2,3,2,2)$. 간선을 추가한 것이 아니라 기존 간선을 굵게 한 것이기 때문이다.

④ 전개 — S1→S7 가중 최단 비용 (3)의 답

바뀐 비용은 S3–S4뿐이다: $1/1 = 1 \;\to\; 1/5 = 0.2$.

⑤ (4)의 답 — S1의 매개는 유지되는가

핵심은 §8-1의 우회가 여전히 성립하는가이다. S3–S4를 바꾼 것이지 S2–S3($w=1$)나 S1–S2($w=4$), S1–S3($w=2$)는 건드리지 않았다.

16-2. 연습문제 2 — 오른쪽 삼각형에는 왜 우회가 없는가 (Exercise 2: Why No Detour in the Right Triangle)

① 무엇을 비교하는가

오른쪽 삼각형의 세 간선과 비용:

② 전개 — (1)의 답

③ (2)의 답 — 왜 어떤 α에서도 안 되는가

부등식을 그대로 써 보자.

$$\underbrace{\left(\tfrac13\right)^{\alpha} + \left(\tfrac12\right)^{\alpha}}_{\text{우회}} \;<\; \underbrace{\left(\tfrac12\right)^{\alpha}}_{\text{직접}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left(\tfrac13\right)^{\alpha} \;<\; 0$$

④ (3)의 답 — S6의 가중 매개

S6이 어떤 쌍의 최단경로 위에 있으려면, S6을 거치는 것이 이득이어야 한다. S6의 이웃은 S5와 S7뿐이므로 후보는 (S5, S7) 쌍 하나뿐이다. 그런데 ②에서 그 쌍은 직접 간선을 쓴다.

16-3. 오늘의 한 줄 요약 (One-Line Summary)

다음 단원 — 2-6: Knoke 데이터 중심성 종합과 지표 간 비교. 지금까지 다섯 지표와 $\alpha$ 손잡이를 7명짜리 장난감 네트워크에서 익혔다. 마지막으로 단원 1-9의 Knoke 정보망(기관 10개, 방향 네트워크)에 전부 적용한다. 방향이 있으므로 내향/외향을 나눠야 하고, 매개 중심성의 분모가 $(n-1)(n-2)$로 2로 나누지 않는다(단원 2-3 §10에서 예고). 그리고 단원 2-4에서 미뤄 둔 질문에 답한다 — 페이지랭크는 방향 네트워크에서 무엇을 더 알려주는가.