실전 — Knoke 중심성 종합과 지표 간 비교

1. 오늘의 질문 — 다섯 지표가 서로 다른 답을 낼 때 (Today's Question)

단원 2-1부터 2-5까지 7명짜리 장난감 네트워크에서 다섯 지표와 $\alpha$ 손잡이를 익혔다. 이제 단원 1-9의 Knoke 정보망(기관 10곳, 방향 네트워크)에 전부 적용한다.

2. 방향이 있다는 것 — 행과 열이 다른 뜻이 된다 (Direction Changes Everything)

Knoke & Kuklinski(1982)의 자료다. 어떤 도시의 기관 10곳 사이에서 "$i$가 $j$에게 정보를 준다"를 조사했다. 단원 1-9에서 확인한 기초 지표는 다음과 같다.

$$A \;=\; \begin{array}{c|cccccccccc} & \text{COUN} & \text{COMM} & \text{EDUC} & \text{INDU} & \text{MAYR} & \text{WRO} & \text{NEWS} & \text{UWAY} & \text{WELF} & \text{WEST} \\ \hline \text{COUN} & 0&1&0&0&1&0&1&0&1&0 \\ \text{COMM} & 1&0&1&1&1&0&1&1&1&0 \\ \text{EDUC} & 0&1&0&1&1&1&1&0&0&1 \\ \text{INDU} & 1&1&0&0&1&0&1&0&0&0 \\ \text{MAYR} & 1&1&1&1&0&0&1&1&1&1 \\ \text{WRO} & 0&0&1&0&0&0&1&0&1&0 \\ \text{NEWS} & 0&1&0&1&1&0&0&0&0&0 \\ \text{UWAY} & 1&1&0&1&1&0&1&0&1&0 \\ \text{WELF} & 0&1&0&0&1&0&1&0&0&0 \\ \text{WEST} & 1&1&1&0&1&0&1&0&0&0 \end{array}$$

3. 손 계산 ① 발신과 수신 (Out-degree and In-degree)

$$d^{out}_i = \sum_{j} A[i,j] \quad (\text{행합}), \qquad d^{in}_j = \sum_{i} A[i,j] \quad (\text{열합})$$

3-1. 외향 — 행을 전부 더한다 (Out-Degree: Summing the Rows)

3-2. 내향 — 열을 전부 더한다 (In-Degree: Summing the Columns)

3-3. 두 지표가 정면으로 어긋나는 세 기관 (Three Organizations Where the Two Disagree)

4. 방향 네트워크의 중심화 — 분모가 $(n-1)^2$ (Directed Centralization)

Freeman 중심화의 뼈대는 단원 2-1과 같다. 최대에서 얼마나 떨어져 있는지를 다 더하고, 이론상 가능한 최대로 나눈다.

$$C \;=\; \frac{\sum_i \left(d_{\max} - d_i\right)}{\text{이론상 최대}}, \qquad \text{방향 연결정도의 이론상 최대} = (n-1)^2 = 81$$

5. 손 계산 ② 나가는 근접과 들어오는 근접 (Out- and In-closeness)

단원 2-2와 정의는 같다. 다만 거리 행렬 $D$가 대칭이 아니므로 행합과 열합이 다르다.

$$C_C^{out}(i) = \frac{n-1}{\sum_j d(i,j)} = \frac{9}{\text{행합}}, \qquad C_C^{in}(j) = \frac{n-1}{\sum_i d(i,j)} = \frac{9}{\text{열합}}$$

5-1. 방향 거리 행렬 (The Directed Distance Matrix)

5-2. 두 근접 중심성 (Two Closeness Measures)

6. 손 계산 ③ 방향 매개 — 분모에 2로 나누지 않는다 (Directed Betweenness)

정의는 단원 2-3과 같다. 다만 $(j,k)$와 $(k,j)$가 다른 쌍이다.

$$b_i = \sum_{j \neq i \neq k} \frac{g_{jk}(i)}{g_{jk}}, \qquad \text{정규화 분모} = \begin{cases} (n-1)(n-2)/2 = 36 & \text{무방향} \\ (n-1)(n-2) = \mathbf{72} & \text{방향} \end{cases}$$

중심화도 분모가 달라진다: $(n-1)^2(n-2) = 81 \times 8 = 648$.

$$C_B \;=\; \frac{\sum_i (b_{\max} - b_i)}{648} \;=\; \frac{130.3333}{648} \;=\; \mathbf{0.2011}$$

6-1. MAYR의 17.83점은 어디서 오는가 — 대표 네 쌍 (Where MAYR's 17.83 Comes From)

7. UWAY의 매개가 정확히 0인 이유 — 후보 열 쌍 전부 (Why UWAY Scores Exactly Zero)

UWAY는 외향 연결정도 6(공동 3위)이다. 여섯 곳에 정보를 준다. 그런데 매개 중심성이 정확히 0 — 다른 어떤 기관 쌍의 최단경로에도 UWAY가 없다.

UWAY가 다리가 되려면 $j$ → UWAY → $k$ 형태가 최단경로여야 한다. 그런 후보는 (들어오는 곳 2개) × (나가는 곳 중 자기 자신 제외) 조합뿐이다. 전부 세어 보자.

8. 손 계산 ④ 방향 고유벡터 — 어느 쪽 고유벡터인가 (Which Eigenvector?)

단원 2-4의 정의를 방향 행렬에 그대로 쓰면 두 가지 서로 다른 방정식이 생긴다.

8-1. 왼쪽 거듭제곱법 — 정수로 네 걸음 (Left Power Iteration in Four Integer Steps)

$\mathbf{y}^{(k)} = A^{\mathsf T}\mathbf{y}^{(k-1)}$, 출발은 전부 1. 각 단계의 값은 "나를 지목한 곳들의 이전 점수 합"이다.

$k=1$이 내향 연결정도와 같다는 점을 확인하라 — 단원 2-4에서 무방향일 때 $k=1$이 연결정도였던 것과 같은 자리다.

9. 40 = 40 = 40이 211 대 207로 갈라지다 (Breaking the Three-Way Tie)

위 표의 $k=2$ 줄에 세 기관이 정확히 40으로 동점이다. 왜 그런지, 그리고 어떻게 갈라지는지 손으로 본다.

9-1. $k=2$ — 세 기관이 40으로 만나다 (Three Organizations Meet at 40)

NEWS는 아홉 곳에서 지목받아 항이 하나 더 많은데도 40이다. 그 추가 항이 WRO의 $d^{in} = 1$로 가장 가벼운 표이기 때문이다.

9-2. $k=3$ — WRO 한 표가 승부를 가른다 (One WRO Vote Decides It)

$k=2$의 전체 합이 251임을 이용하면 세 기관의 $k=3$을 빼기 두 번으로 구할 수 있다.

9-3. 방향을 뒤집으면 1위가 바뀐다 (Reversing Direction Changes the Leader)

내향으로 보면 NEWS가 1위, 외향으로 보면 MAYR이 1위다. $\lambda_1$은 두 방향에서 같다(전치해도 고유값은 같다). 방향을 지우고 대칭화하면 MAYR이 1위, NEWS는 0.7856으로 내려앉는다.

10. 페이지랭크 — 방향에서는 연결정도와 갈라진다 (PageRank Diverges)

단원 2-4 §11에서 무방향 네트워크의 페이지랭크는 연결정도 몫 $d_i/2m$에 거의 붙어 있었다. 방향에서는 그렇지 않다.

$$PR(i) \;=\; \frac{1-d}{n} + d \sum_{j \to i} \frac{PR(j)}{d^{out}_j}, \qquad d = 0.85,\; n = 10$$

10-1. 손 계산 — 수렴 과정 (Hand Calculation: Convergence)

$k=1$에서는 NEWS가 1위였다가 $k=2$부터 MAYR에게 자리를 내준다. 첫 걸음은 내향 연결정도만 반영하지만, 두 걸음째부터 "누가 지목했는가"의 질이 들어오기 때문이다.

10-2. NEWS는 왜 1위가 아닌가 — 아홉 표를 하나씩 뜯어본다 (Why NEWS Is Not First: All Nine Votes)

NEWS는 아홉 곳 전부에게 지목받았는데도 3위다. 페이지랭크는 지목 개수가 아니라 지목한 쪽의 점수를 그쪽 외향 연결정도로 나눈 값을 더하기 때문이다.

$$PR(\text{NEWS}) = \frac{0.15}{10} + 0.85 \times 0.167182 = 0.015 + 0.142104 = \mathbf{0.157104} \;\checkmark$$

11. 일곱 지표 종합 프로필 (The Full Profile)

11-1. 순위만 뽑으면 (Ranks Alone)

12. 지표 간 상관 — 무엇이 같고 무엇이 다른가 (Correlations Between Measures)

지표가 일곱 개면 표를 읽기가 어렵다. 순위 상관(Spearman)을 계산하면 "어떤 지표들이 사실상 같은 말을 하는지"가 한눈에 보인다.

13. WRO — 모든 지표 꼴찌, 그리고 간선 하나 (WRO: Last in Everything)

13-1. 간선 하나를 지우면 네트워크가 쪼개진다 (Deleting One Edge Splits the Network)

WRO에게 정보를 주는 곳은 EDUC 하나뿐이다. 그 간선 EDUC→WRO을 지워 보자.

14. R 전체 스크립트와 교실 적용 (Full Script; Classroom Application)

library(igraph)
A  <- as.matrix(read.table("knoke-infor.txt", header = TRUE, sep = "\t"))
nm <- colnames(A); rownames(A) <- nm
g  <- graph_from_adjacency_matrix(A, mode = "directed")

# --- 1. 연결정도 (방향) ---
od <- rowSums(A); id <- colSums(A)
od   # 4 7 6 4 8 3 3 6 3 5   외향
id   # 5 8 4 5 8 1 9 2 5 2   내향  (NEWS = 9 = n-1, 최댓값)
sum(od); sum(id)                       # 49 49  방향 악수 정리
centr_degree(g, mode = "out")$centralization   # 0.3827  ( = 31/81 )
centr_degree(g, mode = "in" )$centralization   # 0.5062  ( = 41/81 )

# --- 2. 거리와 근접 (방향) ---
D <- distances(g, mode = "out")        # mode를 반드시 명시!
9 / rowSums(D)   # out-closeness: 0.60 0.82 0.75 0.60 0.90 0.53 0.56 0.69 0.56 0.69
9 / colSums(D)   # in-closeness : 0.64 0.90 0.64 0.69 0.90 0.41 1.00 0.53 0.69 0.56
table(D[D > 0])  # 49개(거리1) 34개(2) 7개(3)  합 90 = n(n-1)

# --- 3. 매개 (방향, 분모 72) ---
b <- igraph::betweenness(g, directed = TRUE)
b        # 0.67 12.33 11.69 0.81 17.83 0.33 2.75 0.00 1.22 0.36
b / 72   # 정규화. 무방향이면 36으로 나눈다
centr_betw(g, directed = TRUE)$centralization   # 0.2011  ( = 130.33/648 )

# --- 4. 고유벡터: 어느 쪽인지 확인한다 ---
round(eigen_centrality(g, directed = TRUE)$vector, 4)
# 0.6527 0.9858 0.4529 0.7374 0.9858 0.0877 1.0000 0.3819 0.5993 0.2787
y <- rep(1, 10); for (k in 1:30) y <- as.vector(t(A) %*% y)
round(y / max(y), 4)     # 위와 동일 -> igraph는 t(A), 즉 '내향'을 쓴다
x <- rep(1, 10); for (k in 1:30) x <- as.vector(A %*% x)
round(x / max(x), 4)
# 0.5456 0.8846 0.7677 0.5628 1.0000 0.3289 0.4743 0.7602 0.4571 0.7114  ← 외향판, MAYR 1위

# --- 5. 페이지랭크 ---
round(page_rank(g)$vector, 4)
# 0.0947 0.1735 0.0692 0.1168 0.1759 0.0248 0.1571 0.0548 0.0897 0.0435
round(id / sum(id), 4)   # 내향 몫과 비교: NEWS 0.1837 vs PR 0.1571 (-0.0266)

# --- 6. 지표 간 순위 상관 ---
M <- cbind(out=od, ind=id, Cout=9/rowSums(D), Cin=9/colSums(D),
           betw=b, eig=eigen_centrality(g, directed=TRUE)$vector, pr=page_rank(g)$vector)
round(cor(M, method = "spearman"), 3)
#      out   ind  Cout   Cin  betw   eig    pr
# out  1.000 0.135 0.981 0.128 0.426 0.179 0.364   ← out과 in은 거의 무관!
# ind  0.135 1.000 0.231 0.978 0.778 0.982 0.945

15. 연습문제 (Exercises)

16. 해설과 답 (Solutions)

16-1. 연습문제 1 — NEWS가 사라진 네트워크 (Exercise 1: The Network Without NEWS)

① 무엇을 지우는가 — 행 하나와 열 하나

NEWS는 7번째 행이자 7번째 열이다. 두 줄을 통째로 지운다.

$$A' \;=\; \begin{array}{c|ccccccccc} & \text{COUN} & \text{COMM} & \text{EDUC} & \text{INDU} & \text{MAYR} & \text{WRO} & \text{UWAY} & \text{WELF} & \text{WEST} \\ \hline \text{COUN} & 0&1&0&0&1&0&0&1&0 \\ \text{COMM} & 1&0&1&1&1&0&1&1&0 \\ \text{EDUC} & 0&1&0&1&1&1&0&0&1 \\ \text{INDU} & 1&1&0&0&1&0&0&0&0 \\ \text{MAYR} & 1&1&1&1&0&0&1&1&1 \\ \text{WRO} & 0&0&1&0&0&0&0&1&0 \\ \text{UWAY} & 1&1&0&1&1&0&0&1&0 \\ \text{WELF} & 0&1&0&0&1&0&0&0&0 \\ \text{WEST} & 1&1&1&0&1&0&0&0&0 \end{array}$$

② 전개 — 연결정도 (1)의 답

③ (2)의 답 — 간선 수와 밀도

④ (3)의 답 — 매개 순위가 뒤집힌다

⑤ (4)의 답 — 연결성과 지름

16-2. 연습문제 2 — 상관표를 읽는다 (Exercise 2: Reading the Correlation Table)

① (1)의 답 — 세 개만 고른다면

§12에서 일곱 지표가 세 덩어리로 뭉쳤다. 덩어리 안에서는 순위가 사실상 같으므로 덩어리마다 하나씩 고르면 정보 손실이 거의 없다.

② (2)의 답 — 상관 0.135의 뜻

③ (3)의 답 — 근접이 쓸모없다는 결론은 틀렸다

16-3. 2단계를 마치며 — 한 장 요약 (Closing Stage 2: One-Page Summary)

다음 단계 — 3단계: 하위집단과 구조 (Subgroups and Structure). 2단계는 개인에게 점수를 매기는 일이었다. 3단계는 덩어리를 찾는다 — 클리크, 커뮤니티 탐지, 블록모델링, 이분(2-mode) 네트워크, 동질성(homophily). "우리 반에 무리가 몇 개 있고, 누가 어느 무리인가"를 자동으로 찾아내고 담임의 눈으로 본 무리와 비교하는 것이 목표다. 자료는 Zachary 가라테 클럽(집단 분열의 고전)과 Faux Magnolia 고교 친구관계를 쓴다.