전이성과 모형 퇴화

1. 오늘의 질문 (The Question)

5-1부터 5-5까지 우리가 ERGM에 넣은 항은 edges, nodematch, nodefactor, nodecov, absdiff — 전부 다섯 개였다. 이 다섯 개는 성격이 똑같았다. 쌍 $(i,j)$의 변화 통계량 $\delta_{ij}$를 계산하려면 $i$와 $j$의 속성만 보면 됐다. 나머지 망은 쳐다볼 필요가 없었다.

그래서 5-3에서 본 조건부 로그오즈

$$\operatorname{logit}P\bigl(Y_{ij}=1 \mid \text{나머지 망}\bigr) \;=\; \boldsymbol\theta^{\!\top}\boldsymbol\delta_{ij}(y)$$

에서 오른쪽이 "나머지 망"에 전혀 의존하지 않았고, 그래서 210개(FMH는 1,066,530개)의 쌍이 서로 독립인 로지스틱 회귀가 되었다. 정규화 상수 $\kappa$도 쌍마다 인수 하나씩으로 깔끔히 쪼개졌다.

오늘 배울 것은 두 가지다.

1. 왜 삼각형을 그대로 넣으면 모형이 망하는가. 손으로 $n=4$, $n=7$ 망을 전수 계산해서 직접 무너지는 것을 본다. 이 현상을 모형 퇴화(model degeneracy)라 부른다.
2. 그 해결책 gwesp가 무엇을 어떻게 눌러 주는가. "한계 체감"이라는 한 문장이 전부다.

2. 정의 ① triangle과 그 변화 통계량 (Definition I: The Triangle Term)

통계량 자체 (The Statistic Itself)

삼각형 개수는 세 정점이 모두 서로 연결된 조합의 수다. $A$를 인접행렬이라 하면

$$T(y) \;=\; \sum_{i<j<k} A[i,j]\,A[i,k]\,A[j,k] \;=\; \tfrac16\operatorname{tr}(A^3).$$

변화 통계량 — 오늘의 핵심 (The Change Statistic: Today's Core)

5-3에서 정의했듯 $\delta_{ij} = T(y^+_{ij}) - T(y^-_{ij})$, 즉 간선 $(i,j)$만 켰을 때와 껐을 때의 차이다. 간선 $(i,j)$를 켜서 새로 생기는 삼각형은 반드시 $\{i,j,k\}$ 꼴이고, 그러려면 $A[i,k]=1$이고 $A[j,k]=1$이어야 한다. 그런 $k$가 몇 개인가?

$$\delta^{\text{tri}}_{ij} \;=\; \sum_{k} A[i,k]\,A[j,k] \;=\; (A^2)[i,j] \;=\; \bigl|N(i)\cap N(j)\bigr| \;\equiv\; p_{ij}.$$

부수적으로 얻는 항등식 하나. 각 삼각형은 간선 세 개를 갖고, 그 세 간선 각각이 그 삼각형을 자기 $p$에 한 번씩 센다. 따라서

$$\sum_{\{i,j\}\in E} p_{ij} \;=\; 3\,T(y), \qquad\text{즉}\qquad T(y)=\tfrac13\sum_{\{i,j\}\in E} p_{ij}.$$

손 계산 검산에 계속 쓸 것이다.

3. 손 계산 ① — 6명 학급 15쌍 전부 (All 15 Dyads by Hand)

6명 학급, 간선 여섯 개: 1–2, 1–3, 2–3, 3–4, 4–5, 5–6. 삼각형은 $\{1,2,3\}$ 하나다.

이웃 집합을 먼저 적어 둔다. $N(1)=\{2,3\}$, $N(2)=\{1,3\}$, $N(3)=\{1,2,4\}$, $N(4)=\{3,5\}$, $N(5)=\{4,6\}$, $N(6)=\{5\}$.

이제 15쌍을 하나도 빠뜨리지 않고 전개한다. 0이 나오는 쌍도 다 쓴다.

초록 = 이미 삼각형을 이루는 간선, 노랑 = 아직 간선은 아니지만 공통 친구가 있는 쌍 (교실 말로 하면 "소개해 주면 곧 친해질 것 같은 쌍"). 나머지는 흰색이다.

검산. 간선인 여섯 쌍의 $p$를 더하면 $1+1+1+0+0+0=3$, 나누기 3 하면 $T=1$. 실제 삼각형 $\{1,2,3\}$ 하나와 일치한다. ✓

nw6 <- network(A6, directed=FALSE)
summary(nw6 ~ edges + triangle)
##  edges triangle
##      6        1

4. 쌍 독립이 깨진다 (Dyad Independence Breaks)

위 표에서 쌍 $(1,4)$를 보자. $p_{14}=1$이다. 공통 친구는 3번 한 명.

그런데 여기서 전혀 다른 쌍인 $(2,4)$에 간선을 하나 그어 보자. 쌍 $(1,4)$는 손도 대지 않았다. 그런데:

새 $N(4)=\{2,3,5\}$이므로 $N(1)\cap N(4)=\{2,3\}\cap\{2,3,5\}=\{2,3\}$, 즉 $p_{14}=2$.

그리고 여기서 양의 되먹임 고리가 생긴다. 이것이 오늘 이야기의 전부다.

5. $\kappa$가 곱으로 닫히지 않는다 — $n=4$ 전수 계산 (The Constant No Longer Factors)

5-3에서 쌍 독립 모형의 정규화 상수는 이렇게 쪼개졌다:

$$\kappa(\boldsymbol\theta) \;=\; \prod_{i<j}\Bigl(1+e^{\,\boldsymbol\theta^{\!\top}\boldsymbol\delta_{ij}}\Bigr).$$

쌍마다 "없다/있다" 두 경우를 독립으로 곱하면 되니까 $2^{\binom n2}$개 망을 다 더할 필요가 없었다. triangle이 들어가면 이게 되는지, $n=4$로 전수 확인해 보자. 망은 $2^6=64$개뿐이다. $\theta_e=-0.5$, $\theta_t=0.8$로 두겠다.

먼저 64개 망을 (간선 수 $e$, 삼각형 수 $T$)로 분류한다. $n=4$에서는 다음 아홉 종류가 전부다.

따라서 참값은 $\kappa = 23.3949564607$, $\log\kappa = 3.152520463$.

이제 곱으로 접어 보자. 만약 쌍 독립이라면 여섯 쌍이 각각 같은 인수를 내야 한다. 빈 망에서 출발하면 어느 쌍이든 $\delta^{\text{tri}}=0$이므로 인수는 $1+e^{-0.5}$이고,

$$\kappa_{\text{곱}} \;=\; \bigl(1+e^{-0.5}\bigr)^{6} \;=\; 1.6065306597^{6} \;=\; 17.1923050948.$$

$n=34$인 가라테만 해도 망의 개수는 $2^{561}\approx 10^{169}$개다. 우주의 원자 수($10^{80}$ 정도)의 제곱보다 많다.

6. 모형 퇴화 — $n=7$ 전수 계산 (Model Degeneracy)

$\kappa$를 못 쪼갠다는 건 계산이 불편하다는 뜻일 뿐이다. 진짜 문제는 따로 있다. $n=7$이면 망이 $2^{21}=2{,}097{,}152$개라 아직 컴퓨터로 전부 셀 수 있다. $\theta_e=-2$로 고정하고 $\theta_t$만 0부터 조금씩 올리면서 간선 수의 분포를 정확히 그려 보자.

$\theta_t$를 1.15에서 1.30으로, 0.15밖에 안 올렸는데 평균 간선 수가 3.4에서 15.6으로 뛴다. 이런 걸 상전이(phase transition)라 한다. 물이 99°C에서 101°C가 되는 것과 같다.

가장 결정적인 그림 — 정확히 $\theta_t=1.2$일 때 (The Decisive Picture)

그림 67(다)의 분포를 숫자로 보자. $e=0,1,2,\dots,21$에 대한 확률이다.

"평균을 맞추면 되지 않나?" — 안 된다 ("Can't We Just Match the Mean?" No)

퇴화를 처음 보면 이렇게 생각하기 쉽다. "$\theta_e$를 잘 조절해서 평균 간선 수를 원하는 값(밀도 0.5, 즉 10.5개)에 맞추면 되지 않나?" 실제로 맞출 수 있다. $\theta_t=1.2$에 대해 $\theta_e=-1.8858688$로 두면 정확히 $E[\text{간선}]=10.5$가 된다. 그런데 그때의 분포가 그림 67(라)다.

7. 왜 무너지는가 — 임계값 공식 (Why It Collapses: A Threshold Formula)

이제 손으로 이유를 유도한다. ERGM은 각 망 $y$에 $\exp\{\theta_e\,e(y)+\theta_t\,T(y)\}$라는 "점수"를 준다. 극단 두 개만 보자.

완전망이 빈 망을 이기기 시작하는 지점은 두 지수가 같아지는 곳이다.

$$\theta_e\binom n2+\theta_t\binom n3 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \theta_t^{*} \;=\; -\theta_e\,\frac{\binom n2}{\binom n3}.$$

여기서 $\dfrac{\binom n2}{\binom n3}=\dfrac{n(n-1)/2}{n(n-1)(n-2)/6}=\dfrac{3}{n-2}$이므로

$n=7$에서 $\theta_e=-2$이면 $\theta_t^{*}=\dfrac{3\times 2}{5}=\dfrac65=1.2$. 6절에서 컴퓨터가 찾아 준 그 값이다. 손으로 나온다. ✓

두 번째 이유 — $\delta^{\text{tri}}$에 상한이 없다 (A Second Reason: The Change Statistic Is Unbounded)

같은 얘기를 변화 통계량 쪽에서 봐도 된다. $\delta^{\text{tri}}_{ij}=p_{ij}$의 범위는

$$0 \;\le\; \delta^{\text{tri}}_{ij} \;\le\; n-2$$

이고, 이 값이 1씩 오를 때마다 로그오즈가 $\theta_t$씩 똑같이 오른다. 공통 친구가 0명에서 1명이 될 때나 30명에서 31명이 될 때나 보상이 같다. 그런데 상식적으로 이 둘은 전혀 다른 사건이다.

8. R 검증 ① — 가라테에 triangle을 넣어 보면 (Verification I: The Failure)

말이 아니라 실제로 돌려 본다. 가라테 망($n=34$, 간선 78, 삼각형 45)이다. CLAUDE.md에 적힌 대로 데이터 오류를 먼저 복원했다.

kel <- as.matrix(read.table(sna_path("karate_net.txt")))
gk  <- add_edges(simplify(graph_from_edgelist(kel, directed=FALSE)), c(9,31))
Ak  <- as.matrix(as_adjacency_matrix(gk)); diag(Ak) <- 0
nwk <- network(Ak, directed=FALSE)

ergm(nwk ~ edges + triangle)

## Starting maximum pseudolikelihood estimation (MPLE):
## Starting Monte Carlo maximum likelihood estimation (MCMLE):
## Iteration 1 of at most 60:
## Iteration 2 of at most 60:
## Post-burnin sample is constant; returning.
## Error: Unconstrained MCMC sampling did not mix at all.
##        Optimization cannot continue.

MPLE는 답을 준다 — 그게 함정이다 (MPLE Gives an Answer, and That Is the Trap)

의사가능도(MPLE)만 쓰면 오류 없이 숫자가 나온다. 5-3에서 배운, 쌍 독립인 척하고 푸는 그 로지스틱 회귀다.

ergm(nwk ~ edges + triangle, estimate="MPLE")

$p=4\times10^{-9}$! "매우 유의하다"고 보고하고 싶어진다. 그런데 7절 공식에 넣어 보자. 가라테는 $n=34$이고, edges만 넣은 모형의 $\theta_e=-1.8233078$이므로

$$\theta_t^{*} \;=\; \frac{3\times 1.8233078}{32} \;=\; 0.1709351.$$

9. 정의 ② ESP 분포 (Definition II: Edgewise Shared Partners)

고치려면 먼저 재는 법을 바꿔야 한다. 삼각형을 개수 하나로 세는 대신, 간선 하나하나가 공유 파트너를 몇 개 갖는지를 분포로 적는다.

$$EP_k(y) \;=\; \#\bigl\{\,\{i,j\}\in E \;:\; p_{ij}=k \,\bigr\},\qquad k=0,1,2,\dots,n-2.$$

ESP = Edgewise Shared Partner. "간선별 공유 파트너 분포"다. 두 가지 항등식이 따라온다.

$$\sum_{k\ge0} EP_k(y) = m\;(\text{간선 수}), \qquad \sum_{k\ge0} k\cdot EP_k(y) = 3\,T(y).$$

가라테로 확인한다.

summary(nwk ~ esp(0:10))

합 78 = 간선 수 ✓, 가중합 135 = $3\times45$ = 3 × 삼각형 수 ✓.

그림 69(가)에서 읽을 것: $k=1$이 35개로 가장 많고, 큰 $k$로 갈수록 급격히 줄어든다. 공유 파트너가 10명인 간선도 하나 있긴 하다(1번 사범과 34번 관장을 잇는 그 간선). triangle 항은 이 하나를 다른 간선의 10배로 대접한다. 바로 이 대접이 폭주를 만든다.

10. 정의 ③ gwesp — 기하가중 (Definition III: GWESP)

ESP 분포에 한계 체감하는 가중치를 씌운 것이 GWESP (Geometrically Weighted Edgewise Shared Partner, 기하가중 간선별 공유 파트너)다.

$$v_\alpha(y) \;=\; e^{\alpha}\sum_{k=1}^{n-2}\Bigl\{1-\bigl(1-e^{-\alpha}\bigr)^{k}\Bigr\}EP_k(y).$$

보기 나쁘니 $\tau \equiv 1-e^{-\alpha}$로 줄여 쓰자. $0<\tau<1$이다.

$$v_\alpha(y) \;=\; \sum_{\{i,j\}\in E} w(p_{ij}), \qquad w(p) \;=\; e^{\alpha}\bigl(1-\tau^{p}\bigr).$$

왜 이 이상한 꼴인가 — 등비급수 (Why This Odd Form: A Geometric Series)

$w(p)$를 전개해 보면 정체가 드러난다. 등비급수 공식 $1+\tau+\dots+\tau^{p-1}=\dfrac{1-\tau^p}{1-\tau}$이고, $1-\tau = e^{-\alpha}$이므로 $\dfrac{1}{1-\tau}=e^{\alpha}$. 따라서

$$\boxed{\;w(p) \;=\; 1+\tau+\tau^2+\cdots+\tau^{p-1}\;}$$

이 형태에서 세 가지가 바로 보인다.

• $w(0)=0$ (항이 없다), $w(1)=1$ — $\alpha$가 무엇이든 항상 정확히 1. (확인: $e^{\alpha}(1-\tau)=e^{\alpha}e^{-\alpha}=1$.)
• $w(p+1)-w(p)=\tau^{p}$ — 늘어나는 몫이 $\tau$배씩 줄어든다. 이것이 브레이크다.
• $w(\infty)=\dfrac{1}{1-\tau}=e^{\alpha}$ — 천장이 있다. 공유 파트너가 몇 명이든 한 간선이 받는 점수는 $e^{\alpha}$를 못 넘는다.

11. 손 계산 ② — 한계 체감 $\tau^p$ (Diminishing Returns by Hand)

$\alpha=0.5$로 손 계산해 보자. $e^{-0.5}=0.6065306597$이므로

$$\tau = 1-0.6065306597 = 0.3934693403, \qquad e^{\alpha}=1.6487212707.$$

$\alpha$는 브레이크의 세기 (α Is the Strength of the Brake)

$\alpha$가 클수록 $\tau$가 1에 가까워지고, 증분이 안 줄어든다 = 브레이크가 풀린다 = triangle로 되돌아간다. 13절에서 이 극한을 정확히 확인한다.

12. 변화 통계량 $\delta^{\text{gwesp}}$ (The GWESP Change Statistic)

ERGM을 돌리려면 결국 $\delta$가 필요하다. 간선 $(i,j)$를 켜면 $v_\alpha$가 얼마나 바뀌는가? 두 군데가 바뀐다.

1. 새 간선 자신이 점수를 받는다. 그 간선의 공유 파트너 수는 $p_{ij}$이므로 $w(p_{ij})$만큼.
2. 공통 이웃을 거치는 기존 간선들의 $p$가 1씩 오른다. $k \in N(i)\cap N(j)$라면, 간선 $(i,k)$는 이제 $j$라는 공유 파트너를 새로 얻고, 간선 $(j,k)$는 $i$를 새로 얻는다. 이때 늘어나는 몫이 바로 11절의 $\tau^{p}$다.

$$\boxed{\;\delta^{\text{gwesp}}_{ij} \;=\; e^{\alpha}\bigl(1-\tau^{p_{ij}}\bigr) \;+\; \sum_{k\,\in\, N(i)\cap N(j)}\bigl(\tau^{p_{ik}} + \tau^{p_{jk}}\bigr)\;}$$

단, 모든 $p$는 간선 $(i,j)$를 뺀 망 $y^-_{ij}$에서 센다.

손으로 두 쌍 — 6명 학급, $\alpha=0.5$ (Two Dyads by Hand)

3절의 6명 학급을 그대로 쓴다. $\tau=0.3934693$. $\delta^{\text{tri}}$가 둘 다 1로 똑같은 두 쌍을 골라 비교한다.

쌍 (1,4) — 공통 이웃은 $\{3\}$, 즉 $p_{14}=1$.

쌍 (3,5) — 공통 이웃은 $\{4\}$, 즉 $p_{35}=1$.

R로 15쌍을 전부 대조하면 이렇다(위 두 줄이 방금 손으로 한 것).

이 공식이 맞는지 무식하게 확인했다. 가라테 망에서 무작위로 고른 60개 쌍에 대해, "간선을 실제로 켜고 끄면서 $v_\alpha$를 다시 계산한 값"과 위 공식을 $\alpha=0.25,0.5,1,2$에서 비교했다. 최대 오차 $2.8\times10^{-14}$ — 부동소수점 오차다. ✓

13. 두 극한 — $\alpha=0$과 $\alpha\to\infty$ (Two Limits)

$\alpha \to 0$

$\tau=1-e^{-\alpha}\to 0$이므로 $p\ge1$이면 $\tau^p\to0$, 따라서 $w(p)\to 1$. $w(0)=0$은 그대로. 즉

$$v_0(y) \;=\; \#\{\text{공유 파트너를 한 명 이상 가진 간선}\} \;=\; m - EP_0(y).$$

가라테: $78-11=\mathbf{67}$. R로 summary(nwk ~ gwesp(0, fixed=TRUE)) = 67. ✓ "삼각형 안에 들어 있는 간선의 수"를 세는 것이다 — 몇 개짜리인지는 안 따지고.

$\alpha \to \infty$

$\tau^p = (1-e^{-\alpha})^p \approx 1 - p\,e^{-\alpha}$ ($e^{-\alpha}$가 작을 때)이므로 $1-\tau^p \approx p\,e^{-\alpha}$, 따라서

$$w(p) \;=\; e^{\alpha}(1-\tau^p) \;\approx\; e^{\alpha}\cdot p\,e^{-\alpha} \;=\; p \qquad\Longrightarrow\qquad v_\alpha(y)\;\longrightarrow\;\sum_{\{i,j\}\in E}p_{ij}\;=\;3\,T(y).$$

$\alpha=20$에서 이미 $134.9999971$로 $3T=135$에 붙었다. ✓ (내가 짠 함수와 ergm의 summary(nwk ~ gwesp(α, fixed=TRUE))가 최대 $2.84\times10^{-14}$ 차이로 일치했다.)

14. R 검증 ② — 가라테와 FMH (Verification II)

가라테 — 세 모형 비교 (Karate: Three Models Compared)

fe <- ergm(nwk ~ edges)                        # 5-2 의 모형
ft <- ergm(nwk ~ edges + triangle)             # 8절: 오류로 죽음
fg <- ergm(nwk ~ edges + gwesp(0.5, fixed=TRUE))

AIC가 454.40 → 425.61로 28.79 떨어졌다. 항 하나 추가에 AIC가 2 이상 떨어지면 개선인데 28.79는 큰 폭이다.

모형이 실제로 삼각형을 만드는가 — 모의망 검사 (Does the Model Actually Make Triangles)

5-2에서 배운 방식대로, 적합된 모형에서 망을 200개 뽑아 삼각형 수를 세 본다. 관측값 45가 그 분포 안에 들어가면 잘 맞는 것이다.

간선 수도 확인: gwesp 모형의 모의 간선은 평균 83.82(범위 54~131), 관측 78. 살짝 많지만 분포 안이다. 그림 69(나)(다)가 이 두 히스토그램이다.

$\alpha$를 바꿔 보면 — 브레이크를 풀면 다시 죽는다 (Varying α: Release the Brake and It Dies Again)

FMH 1461명 — 5-5의 종합 모형에 gwesp를 얹기 (Adding gwesp to the Full FMH Model)

FMH는 간선 974개, 삼각형 169개, ESP 분포는 $EP_0=626,\;EP_1=232,\;EP_2=83,\;EP_3=24,\;EP_4=8,\;EP_5=1,\;EP_6=0$ (합 974 ✓, 가중합 507 = $3\times169$ ✓).

먼저 5-5에서 만든 속성만의 모형이 이 169개를 설명할 수 있는지 본다.

f5 <- ergm(fmh ~ edges + nodematch("Grade") + absdiff("Grade") +
                 nodematch("Sex") + nodefactor("Sex") + nodematch("Race"))
sapply(simulate(f5, nsim=100), function(z) summary(z ~ triangle))

이제 gwesp(0.25)를 얹는다.

15. 교실 적용 (Classroom Application)

16. 연습문제 (Exercises)

17. 해설과 답 (Solutions)

연습 1 해설 (Solution to Exercise 1)

(1) 이웃 집합과 간선의 $p$

먼저 인접행렬과 이웃 집합을 만든다.

간선인 아홉 쌍의 교집합을 하나도 빠뜨리지 않고 전개한다.

값의 의미. 간선 (2,3)만 $p=2$다. 두 삼각형 $\{1,2,3\}$과 $\{2,3,4\}$가 이 간선을 공유하기 때문이다. 반대로 (4,5)는 $p=0$이다 — 왼쪽 무리 $\{1,2,3,4\}$와 오른쪽 무리 $\{5,6,7\}$를 잇는 유일한 다리이고, 다리는 원래 삼각형에 속하지 않는다.

(2) 삼각형 수

$\sum_{E}p = 1+1+2+1+1+0+1+1+1 = 9$, 따라서 $T = 9/3 = \mathbf{3}$.

직접 나열: $\{1,2,3\}$ (1–2, 1–3, 2–3 모두 있음), $\{2,3,4\}$ (2–3, 2–4, 3–4 모두 있음), $\{5,6,7\}$ (5–6, 5–7, 6–7 모두 있음). 세 개. ✓

(3) ESP 분포와 두 검산

(4) $v_{0.5}(y)$

11절 표에서 $w(0)=0$, $w(1)=1$, $w(2)=1+\tau=1.3934693$.

(5) 두 비간선 쌍의 $\delta$ 비교 — 이 문제의 핵심

쌍 (1,4). $N(1)\cap N(4)=\{2,3\}\cap\{2,3,5\}=\{2,3\}$ → $p_{14}=2$. 공통 이웃이 둘이므로 두 번째 합에 네 항이 들어간다.

쌍 (2,5). $N(2)\cap N(5)=\{1,3,4\}\cap\{4,6,7\}=\{4\}$ → $p_{25}=1$. 공통 이웃이 하나뿐이다.

값의 의미. $2.9673467/2.3934693 = 1.2398$. 왜 이렇게 눌렸는가? 쌍 (1,4)의 공통 이웃 2와 3을 거치는 네 간선 (1,2),(4,2),(1,3),(4,3)이 모두 이미 $p=1$이었다. 그래서 네 항 전부 만점 1이 아니라 $\tau=0.393$으로 깎였다. 반면 (2,5) 쪽의 간선 (5,4)는 $p=0$이라 만점 1을 그대로 받았다. 이미 삼각형이 있는 자리에 삼각형을 더 얹는 것은 값이 싸다는 것이 gwesp의 원리다.

연습 2 해설 (Solution to Exercise 2)

(1) 임계값

$n=20$이므로 $n-2=18$, $\theta_e=-2.5$.

$$\theta_t^{*} = \frac{-3\theta_e}{n-2} = \frac{-3\times(-2.5)}{18} = \frac{7.5}{18} = 0.41\overline{6}.$$

(2) 두 극단의 지수

$n=20$의 완전망은 간선 $\binom{20}{2}=190$개, 삼각형 $\binom{20}{3}=1140$개다.

값의 의미. 이 배수는 감이 안 올 정도로 크다. 지구 나이(46억 년)를 초로 세면 $10^{17}$초다. $10^{41}$은 그것의 $10^{24}$배다. 실질적으로 완전망 말고는 아무것도 나오지 않는다는 뜻이다.

(3) 표본을 뽑으면

(4) 34명이면

$$\theta_t^{*} = \frac{7.5}{34-2} = \frac{7.5}{32} = 0.234375.$$

왜 그런가. $n$이 커지면 완전망의 삼각형 수 $\binom n3$이 간선 수 $\binom n2$보다 훨씬 빨리 늘기 때문이다(그림 66(다)). 비율이 $\frac{n-2}{3}$이므로, $n=20$이면 삼각형이 간선의 6배, $n=34$면 10.7배, $n=100$이면 32.7배다. $\theta_t$로 얻는 이득이 $\theta_e$로 치르는 대가보다 점점 더 커진다.