nodefactor · nodecov · absdiff — 활동성과 차이 효과

1. 오늘의 질문 (The Question)

5-4의 nodematch는 강력했지만 이분법 하나밖에 몰랐다. 두 학생이 같은가 다른가. 그 하나만 물었다. 그런데 교실에서 실제로 나오는 질문은 대개 이 두 가지다.

nodematch로는 둘 다 답할 수 없다. 질문 A는 같고 다름이 아니라 누구인가를 묻고, 질문 B는 같고 다름이 아니라 얼마나 차이 나는가를 묻기 때문이다. 7학년과 8학년, 7학년과 12학년 — nodematch에게는 둘 다 똑같은 “다름”이다.

오늘 배울 세 항이 각각 이 빈틈을 메운다.

그리고 셋 다 망을 보지 않는다. $\delta_{ij}$를 계산할 때 다른 간선을 하나도 참조하지 않으므로 쌍 독립이 유지되고, 따라서 5-4에서 얻은 모든 좋은 성질($\kappa$가 닫힘, MPLE = MLE)이 그대로 살아 있다. 쌍 독립이 깨지는 것은 5-6의 gwesp부터다.

2. 활동성과 선택성 — 서로 다른 두 질문 (Activity vs. Selectivity)

오늘 배울 세 항은 두 종류로 갈린다. 이 구분이 오늘의 뼈대다.

수식으로 보면 차이가 선명하다. 어떤 함수 $f$에 대해

활동성 항은 $i$의 몫과 $j$의 몫으로 쪼개진다. 그래서 간선 전체에 대해 합하면 자연스럽게 차수의 합이 된다(§3에서 확인). 선택성 항은 쪼개지지 않는다 — $\mathbb 1\{x_i=x_j\}$나 $|x_i-x_j|$는 한쪽만 봐서는 값을 알 수 없다.

3. 정의 ① nodefactor — 집단의 차수 합 (Definition I: nodefactor)

범주형 속성 $x$와 그 한 수준 $k$에 대해

즉 각 간선마다, 그 간선의 두 끝점 중 수준 $k$인 것이 몇 개인지 세어 더한다. 변화 통계량은 정의상 바로 읽힌다.

왜 이것이 “활동성”인가 — 차수 합과 같다 (Why This Is Activity: It Equals the Degree Sum)

합의 순서를 바꾸면 정체가 드러난다. 간선 $\{i,j\}$ 하나는 자기 끝점 중 $k$인 것마다 1씩 기여한다. 그러니 간선을 기준으로 세는 대신 정점을 기준으로 세면, 수준 $k$인 정점 하나가 자기에게 붙은 간선 개수(= 차수)만큼 기여한다.

10명 학급에서 두 경로로 확인 (Two Routes, Same Number)

3-7·5-4에서 계속 쓴 10명 학급을 그대로 쓴다. 남학생 1~6번, 여학생 7~10번, 간선 15개.

경로 ① 간선을 기준으로 — 간선 15개를 종류별로 분류한다.

경로 ② 정점을 기준으로 — 여학생 4명의 차수를 더한다. 차수 벡터는 $d=(2,2,6,3,2,3,\;3,3,3,3)$이므로

남학생 쪽도 마찬가지다. $d_1+\cdots+d_6 = 2+2+6+3+2+3 = 18$이고, 간선 기준으로도 $2\cdot 7 + 1\cdot 4 + 0\cdot 4 = 14+4 = 18$이다.

4. 완전 공선성 — 왜 한 수준을 버려야 하는가 (Perfect Collinearity)

위 표에서 이상한 점을 눈치챘을 것이다. $12 + 18 = 30 = 2\times 15$. 우연이 아니다. 모든 간선은 끝점이 정확히 2개이고, 각 끝점은 남 아니면 여이므로

모든 쌍에서 항상 2다. 따라서 간선 전체에 대해 합하면

그래서 ergm은 한 수준을 자동으로 버린다(기준 수준, baseline). 기본값은 정렬 순서로 첫 번째 수준이다. 남/여에서는 “남”이 버려지고 nodefactor.sex.여 하나만 추정된다. FMH의 Sex(F, M)에서는 F가 버려지고 nodefactor.Sex.M이 남는다.

summary(nw ~ edges + nodefactor("sex", levels=TRUE))   # 통계량만 볼 때는 전부 볼 수 있다
#             edges nodefactor.sex.남 nodefactor.sex.여
#                15                18                12          18 + 12 = 30 = 2 x 15

5. 손 계산 ① — 10명 학급, 세 칸 포화 모형 (A Saturated Three-Cell Model)

이제 모형을 세운다.

5-1. 쌍은 세 종류뿐이다 (Only Three Kinds of Dyads)

10명이므로 쌍은 $\binom{10}{2}=45$개. 이 45개를 $(\delta^{\text{match}},\delta^{\text{factor}}_{\text{여}})$ 값으로 분류하면 세 가지밖에 나오지 않는다.

충분통계량 세 개를 이 표에서 다시 확인한다.

5-2. 세 칸의 관측 로짓 (Three Observed Logits)

각 칸에서 오즈 = (간선 있는 쌍)/(간선 없는 쌍)이다.

5-3. 연립방정식을 푼다 (Solving the 3×3 System)

1단계 — (iii) $-$ (i). $\theta_e$와 $\theta_m$이 함께 지워지고 $2\theta_f$만 남는다.

2단계 — (ii)에 대입.

3단계 — (i)에 대입.

5-4. 정확한 닫힌 식 (Exact Closed Forms)

소수점 대신 분수로 끝까지 밀면 놀랍도록 깨끗하다.

검산 — 세 칸의 오즈를 계수로 되조립해 본다.

6. R 검증 ① — 10명 학급 (Verification I)

library(ergm); library(network)
mkA <- function(n,E){A <- matrix(0,n,n); for(e in E){A[e[1],e[2]] <- 1; A[e[2],e[1]] <- 1}; A}
E10 <- list(c(1,2),c(1,3),c(2,3),c(3,4),c(3,7),c(3,8),c(3,9),
            c(4,5),c(4,6),c(5,6),c(6,10),c(7,8),c(7,10),c(8,9),c(9,10))
nw <- network(mkA(10,E10), directed=FALSE)
nw %v% "sex" <- c(rep("남",6), rep("여",4))

summary(nw ~ edges + nodematch("sex") + nodefactor("sex"))
#             edges     nodematch.sex nodefactor.sex.여
#                15                11                12          <- §3, §5 손 계산과 일치

summary(ergm(nw ~ edges + nodematch("sex") + nodefactor("sex")))$coefficients
#                     Estimate  Std. Error  z value  Pr(>|z|)
# edges             -2.0227772   0.7446236   -2.717   0.00660
# nodematch.sex      1.8892458   0.7446236    2.537   0.01117
# nodefactor.sex.여  0.4133393   0.5044445    0.819   0.41256

계수를 읽는 문장 (Reading the Coefficients)

7. 교란 — 5-4의 5.5배는 어디로 갔는가 (Confounding: Where Did the 5.5 Go?)

같은 학급, 같은 데이터에 네 모형을 얹어 본다.

7-1. 왜 nodefactor 단독은 정확히 0인가 (Why nodefactor Alone Is Exactly Zero)

세 번째 줄의 $0.0000$은 반올림이 아니다. R이 돌려준 값은 $9.16\times 10^{-10}$, 즉 수치 오차 범위의 진짜 0이다. 손으로 이유를 확인할 수 있다.

간선만 있는 모형에서 모든 쌍의 확률은 밀도 $p=15/45=1/3$이다. 학생 하나당 짝지을 상대는 9명이므로 기대 차수는 $9\times\frac13 = 3$이고, 여학생 4명의 기대 차수 합은

그런데 관측값도 정확히 12다. 지수족의 MLE는 “충분통계량의 기댓값 = 관측값”을 푸는 것인데, $\theta_f=0$에서 이미 두 통계량(간선 15, 활동성 12)이 모두 맞아떨어진다. 그러니 움직일 이유가 없다. 그래서 AIC도 정확히 $59.29+2=61.29$ — 모수 하나가 아무 일도 하지 않고 벌점만 먹었다.

7-2. 그런데 nodematch를 넣으면 $\theta_f$가 살아난다 (Adding nodematch Revives It)

동질성만 넣은 모형(m2)에서 적합 확률은 $p_{\text{같}}=11/21$, $p_{\text{다}}=4/24=1/6$이다. 이 모형이 예측하는 기대 차수를 손으로 계산해 보자. 핵심은 기회 구조가 성별마다 다르다는 것이다.

7-3. 그래서 동질성 계수가 움직인다 (And So the Homophily Coefficient Moves)

활동성을 통제하자 동질성이 더 강해졌다. 여학생의 높은 활동성이 교차 간선도 함께 늘려 놓았기 때문에, 그 몫을 $\theta_f$가 가져가고 나면 “같은 성별이라서” 붙은 몫은 더 커진다.

8. 정의 ② nodecov — 연속 속성의 활동성 (Definition II: nodecov)

연속형(또는 수치형) 속성 $x$에 대해

nodefactor와 완전히 같은 모양이다. 실제로 $f(x)=\mathbb 1\{x=k\}$로 두면 $\delta^{\text{cov}}$가 $\delta^{\text{factor}}_k$가 된다.

증명은 §3과 똑같다 — 간선 $\{i,j\}$는 $x_i$와 $x_j$를 하나씩 내놓고, 정점 $i$는 자기 간선 $d_i$개에 $x_i$를 하나씩 내놓는다. 같은 것을 두 번 세는 방식이 다를 뿐이다.

계수 $\theta_{\text{cov}}$의 뜻: 속성값이 1 늘어난 학생은 끝점 하나마다 오즈가 $e^{\theta_{\text{cov}}}$배가 된다. 양수면 “값이 큰 학생이 친구가 많다”.

9. 정의 ③ absdiff — 연속 속성의 거리 (Definition III: absdiff)

이번엔 쪼개지지 않는다. $|x_i-x_j|$는 $f(x_i)+f(x_j)$ 꼴로 쓸 수 없다. 그래서 이것은 활동성이 아니라 선택성 항이다 — nodematch의 연속형 사촌이다.

계수 $\theta_{\text{abs}}$의 뜻: 속성이 1단위 더 벌어질 때마다 오즈에 $e^{\theta_{\text{abs}}}$배. 이것은 로그오즈가 거리에 선형이라는 강한 가정이다. “1학년 차이”의 벌점과 “5학년 차이 중 마지막 1학년”의 벌점이 같다고 보는 것이다. §13에서 이 가정이 실제 데이터에서 얼마나 맞는지 검사한다.

10. 손 계산 ② — 6명 미니 학급, 15쌍 전부 (All 15 Dyads by Hand)

5-4에서 쓴 6명 미니 학급을 그대로 쓰되, 이번엔 성별이 아니라 연속 속성을 얹는다. 간선은 (1,2), (1,3), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) 여섯 개이고, 속성 $x$는 “지난 학기 읽은 책 수”로 $x=(12,\,10,\,9,\,8,\,6,\,4)$라 하자.

10-1. 15쌍 전부 (The Full Enumeration)

초록 줄이 간선 6개, 빨간 줄이 비간선 9개다. 0인 항도 모두 적었다 — 비간선 9개는 $A[i,j]=0$이므로 곱이 전부 0이고, 이것이 “간선만 세는” 통계량의 정의 그대로다.

10-2. 두 번째 경로 — 차수 합으로 다시 세기 (A Second Route: Recounting by Degree Sums)

차수는 $d=(2,2,3,2,2,1)$이다(합 12 = 2×6 ✓). $\sum_i d_i x_i$를 전개하면

전혀 다른 순서로 더했는데 같은 103이 나왔다. §8의 항등식이 손에서 확인된다.

10-3. 값의 의미 (What the Numbers Say)

친구인 쌍의 독서량 차이(1.83권)가 아닌 쌍(4.67권)의 절반도 안 된다. 이것이 연속 속성에서의 동질성이다 — “같은 값”이 아니라 “가까운 값”끼리 붙는다.

11. R 검증 ② — 6명 미니 학급 (Verification II)

E6 <- list(c(1,2),c(1,3),c(2,3),c(4,5),c(5,6),c(3,4))
nw6 <- network(mkA(6,E6), directed=FALSE); nw6 %v% "book" <- c(12,10,9,8,6,4)

summary(nw6 ~ edges + nodecov("book") + absdiff("book"))
#     edges nodecov.book absdiff.book
#         6          103           11          <- §10 손 계산과 일치

summary(ergm(nw6 ~ edges + absdiff("book")))$coefficients
#                Estimate  Std. Error  z value  Pr(>|z|)
# edges         5.9312083   3.1419532    1.888    0.0591
# absdiff.book -2.2277591   1.1776170   -1.892    0.0585

# 쌍 독립이므로 평범한 로지스틱 회귀와 같은 문제다
coef(glm(y ~ d_abs, data=tb6, family=binomial))
#  (Intercept)        d_abs
#    5.9312083   -2.2277591          <- ergm 과 자리 하나까지 동일

11-1. 활동성도 같이 넣으면 (Adding Activity as Well)

summary(ergm(nw6 ~ edges + nodecov("book") + absdiff("book")))$coefficients
#                 Estimate  Std. Error  z value  Pr(>|z|)
# edges          4.5295294   4.4403538    1.020    0.3077
# nodecov.book   0.0965267   0.2308907    0.418    0.6759
# absdiff.book  -2.3057380   1.2767873   -1.806    0.0709

$\theta_{\text{cov}}=+0.0965\ (e^{\theta}=1.101)$은 “책을 1권 더 읽은 학생은 끝점 하나마다 오즈가 1.10배”라는 뜻이지만 $p=0.676$으로 전혀 유의하지 않다. 활동성을 넣어도 $\theta_{\text{abs}}$는 $-2.2278\to-2.3057$로 거의 움직이지 않았다 — 이 자료에서는 교란이 작다는 뜻이다.

12. $\kappa$는 여전히 닫히는가 (Does the Normalizing Constant Still Close?)

5-4에서 $\kappa$가 닫힌 식이 된 이유는 딱 하나였다 — $\delta_{ij}$가 $y$에 의존하지 않는다. 오늘의 세 항도 마찬가지이므로, 증명은 글자 하나 바꾸지 않고 그대로 굴러간다.

여기서 분배법칙이 통한다. 각 쌍의 $A[i,j]$가 0/1을 독립적으로 고를 수 있고 어느 쌍의 항도 다른 쌍의 값을 참조하지 않으므로, 합과 곱의 순서를 바꿀 수 있다.

12-1. 전수 검증 (Brute-Force Check)

6명 학급은 쌍이 15개이므로 가능한 망이 $2^{15}=32{,}768$개다. 전부 더해서 대조할 수 있다.

th <- c(-0.41, 0.07, -0.33)          # edges, nodecov, absdiff — 아무 값
lin <- numeric(2^15)
for (cd in 0:(2^15-1)) {
  b <- as.integer(intToBits(cd))[1:15]
  lin[cd+1] <- th[1]*sum(b) + th[2]*sum(b*dcov) + th[3]*sum(b*dabs)
}
M <- max(lin); brute <- M + log(sum(exp(lin - M)))       # 32768개 전부 더하기
closed <- sum(log(1 + exp(th[1] + th[2]*dcov + th[3]*dabs)))   # 닫힌 식
# 전수    log kappa = 8.387615706
# 닫힌식  log kappa = 8.387615706
# 차이              = -2.4869e-14        <- 부동소수 오차

12-2. 5-4와 달라진 점 — 2×2 표는 사라졌다 (What Changed from 5-4: The 2×2 Table Is Gone)

13. R 검증 ③ — FMH 1461명 실전 (Verification III: Real Data)

이제 진짜 자료다. faux.magnolia.high — 학생 1461명, 간선 974개.

13-1. 성별 활동성 — nodefactor가 유의하다 (Activity by Sex: nodefactor Is Significant)

summary(ergm(fmh ~ edges + nodematch("Sex") + nodefactor("Sex")))$coefficients
#                      Estimate  Std. Error   z value    Pr(>|z|)
# edges              -7.3809565  0.07112797  -103.770   0.00e+00
# nodematch.Sex       0.8530734  0.07112797    11.994   3.84e-33
# nodefactor.Sex.M   -0.1508384  0.03935149    -3.833   1.27e-04

# 5-4의 모형(활동성 없음)과 비교
# edges          -7.5317949      nodematch.Sex  0.8796026      AIC 15412.89
# 위 모형                                        0.8530734      AIC 15399.88

13-2. 학년 — nodematch와 absdiff는 둘 다 필요하다 (Grade: You Need Both nodematch and absdiff)

학년은 7~12의 순서 있는 수치다. 여기서 오늘의 두 도구가 정면으로 부딪힌다.

왜 둘 다 필요한지는 관측 로짓을 학년 차이별로 늘어놓으면 즉시 보인다.

기대 간선 수 열을 보면 mC의 적합이 얼마나 좋은지 더 분명하다 — 820 대 820.00, 114 대 113.48, 31 대 31.74, 7 대 7.28. $d=4$에서 2 대 1.32로 살짝 벌어지지만 기대 간선이 한두 개인 칸이라 우연의 폭 안이다.

13-3. nodecov는 여기서 실패한다 (Where nodecov Fails)

summary(ergm(fmh ~ edges + nodecov("Grade")))$coefficients
#                  Estimate  Std. Error  z value  Pr(>|z|)
# nodecov.Grade  -0.0159449  0.01451214   -1.099     0.272        <- 유의하지 않음

# AIC 비교
# edges 만                15582.21
# + nodecov("Grade")      15583.00    <- 더 나빠졌다
# + nodefactor("Grade")   15550.98    <- 크게 좋아졌다

학년별 평균 차수를 보면 이유가 명백하다.

13-4. 종합 모형 (Putting It Together)

ergm(fmh ~ edges + nodematch("Grade") + absdiff("Grade") +
           nodematch("Sex") + nodefactor("Sex") + nodematch("Race"))
#                     Estimate   Std. Error   z value   exp(계수)
# edges             -8.1426308   0.21215186   -38.381     0.000291
# nodematch.Grade    1.5130565   0.19436694     7.785     4.541
# absdiff.Grade     -1.0399630   0.13025175    -7.984     0.353
# nodematch.Sex      0.8583060   0.07123142    12.050     2.359
# nodefactor.Sex.M  -0.1476605   0.03945048    -3.743     0.863
# nodematch.Race     1.1908515   0.08146466    14.618     3.290
#                                                   AIC 12952.30

5-4의 세 nodematch 모형(AIC 13034 부근)에서 크게 개선됐고, 여섯 계수가 모두 유의하다. 5-4에서 “같은 학년 오즈비 25.5배”라고 읽었던 값이 여기서는 4.54배로 줄었다 — 나머지 20배쯤은 “같은 학년”이 아니라 “학년이 가깝다”가 설명하고 있었던 것이다.

14. 교실 적용 (Classroom Application)

14-1. 두 질문을 분리해서 물어라 (Ask the Two Questions Separately)

14-2. 집단 크기가 작은 쪽을 조심하라 (Beware the Smaller Group)

14-3. nodefactor는 집단의 지표이지 개인의 지표가 아니다 (nodefactor Measures Groups, Not Individuals)

14-4. 연속 속성엔 absdiff를 — 다만 선형성을 확인하고 (Use absdiff for Continuous Attributes, but Check Linearity)

14-5. 학년·학기처럼 순서 있는 범주는 두 항을 함께 (Ordered Categories Need Both Terms)

14-6. 동료·학부모에게 설명하는 문장 (Sentences for Colleagues and Parents)

15. 연습문제 (Exercises)

16. 해설과 답 (Solutions)

문제 1 해설 (Solution to Problem 1)

(a) 차수와 두 경로

먼저 각 학생에게 붙은 간선을 세어 차수를 구한다.

차수 합 경로:

간선 경로 — 간선 8개를 종류별로 분류하고 $\delta$를 붙인다. 0인 항도 모두 적는다.

(b) 세 칸

A 5명, B 3명이므로 쌍은 $\binom 82 = 28$개이고 세 칸으로 갈린다.

(c) 연립방정식

B를 활동성 수준으로 잡으면 $\delta^{\text{factor}}_{\text{B}}$는 AA에서 0, 교차에서 1, BB에서 2다.

1단계 (iii) $-$ (i):

2단계 (ii)에 대입:

3단계 (i)에 대입:

검산 — 세 칸의 오즈를 되조립한다.

summary(ergm(nw8 ~ edges + nodematch("g") + nodefactor("g")))$coefficients
#                   Estimate  Std. Error
# edges           -2.9856309   1.2434667
# nodematch.g      2.9856309   1.2434667
# nodefactor.g.B   0.3465736   0.6892024      <- 손 계산과 완전 일치

(d) 5-4와 비교

문제 2 해설 (Solution to Problem 2)

(a) 15쌍 전부

$x=(1,5,2,6,3,7)$, 간선은 (1,2), (1,3), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).

검산 — 차수는 $d=(2,2,3,2,2,1)$로 §10과 같다(망을 안 바꿨으니까).

(b) 두 평균 비교

(c) 부호

간선인 쌍이 더 벌어진 값을 갖고 있으므로, $|x_i-x_j|$가 커질수록 간선일 확률이 높아지는 쪽으로 적합된다. 따라서 $\theta_{\text{abs}}$는 양수다.

nw6 %v% "ph" <- c(1,5,2,6,3,7)
summary(nw6 ~ edges + nodecov("ph") + absdiff("ph"))
#      edges nodecov.ph absdiff.ph
#          6         43         19          <- (a) 손 계산과 일치

summary(ergm(nw6 ~ edges + absdiff("ph")))$coefficients
#              Estimate  Std. Error  z value  Pr(>|z|)
# edges      -0.8513248   1.1227243   -0.758     0.448
# absdiff.ph  0.1501150   0.3292684    0.456     0.648        <- 양수, 그러나 유의하지 않음