nodematch 동질성 검정

1. 오늘의 질문 (The Question)

5-1부터 5-3까지 만든 모형에는 사람이 누구인지가 없었다. 정점은 번호일 뿐이고, 통계량은 간선 수·삼각형 수처럼 구조만 셌다. 그런데 교실에서 우리가 정말 묻고 싶은 것은 구조가 아니라 이것이다.

3-7에서 이 질문에 E-I 지수로 답했다. 10명 학급에서 $EI=-0.4667$이 나왔고, 음수니까 동질성이라고 읽었다. 그런데 3-7 §8~9에서 곧바로 두 가지 함정을 만났다.

• 함정 ① — 집단 크기가 E-I를 좌우한다. 남학생이 6명이면 남–남 쌍이 15개나 되니 같은 성별 간선이 저절로 많아진다. $-0.4667$ 중 얼마가 “선호”이고 얼마가 “기회”인가?
• 함정 ② — E-I에는 표준오차가 없다. $-0.4667$이 우연일 수 있는지 판단할 방법이 없다.

오늘 배울 nodematch 항은 이 두 함정을 동시에 없앤다. 게다가 이 모형은 5-3에서 걱정했던 문제(MPLE ≠ MLE)가 아예 발생하지 않는다. 왜인지도 오늘 정확히 밝힌다.

5-3에서 만든 도구는 하나였다 — 변화 통계량 $\boldsymbol\delta_{ij}$를 세면 계수를 읽을 수 있다. 오늘은 그 도구를 학생의 속성에 쓴다.

2. 정의 — nodematch 통계량과 그 변화 통계량 (Definition)

각 학생 $i$에게 속성값 $x_i$가 붙어 있다고 하자 (성별, 학년, 모둠 번호, …). 이것은 망이 아니라 주어진 자료다. 관측 전에 이미 정해져 있고, 모형은 이것을 설명하려 하지 않는다.

nodematch 통계량은 양 끝의 속성이 같은 간선의 수다.

$$g_{\text{match}}(y)\;=\;\sum_{i<j} A[i,j]\;\mathbb 1\{x_i=x_j\}$$

여기서 $\mathbb 1\{\cdot\}$은 지시함수(indicator): 괄호 안이 참이면 1, 거짓이면 0. 즉 같은 성별끼리 이어진 간선만 세는 것이다. 3-7의 용어로는 $IL$(내부 간선 수, internal links)과 똑같다.

모형은 5-1의 꼴 그대로다.

$$P(Y=y)\;=\;\frac{1}{\kappa}\exp\bigl(\theta_1\,m(y)+\theta_2\,g_{\text{match}}(y)\bigr)$$

변화 통계량 (The Change Statistic)

5-3의 정의를 그대로 적용한다. $y^{+}_{ij}$는 $A[i,j]=1$로 고정한 망, $y^{-}_{ij}$는 0으로 고정한 망.

$$\delta^{\text{match}}_{ij}(y)\;=\;g_{\text{match}}(y^{+}_{ij})-g_{\text{match}}(y^{-}_{ij})$$

합 $\sum_{k<l} A[k,l]\mathbb 1\{x_k=x_l\}$에서 $(i,j)$ 항만 다르고 나머지 항은 전부 똑같으므로, 차이는 그 한 항뿐이다.

$$\delta^{\text{match}}_{ij} =\underbrace{1\cdot\mathbb 1\{x_i=x_j\}}_{y^{+}_{ij}\text{의 }(i,j)\text{항}} -\underbrace{0\cdot\mathbb 1\{x_i=x_j\}}_{y^{-}_{ij}\text{의 }(i,j)\text{항}} =\;\mathbb 1\{x_i=x_j\}$$ $$\boxed{\;\delta^{\text{match}}_{ij}=\mathbb 1\{x_i=x_j\}= \begin{cases}1 & x_i=x_j\ \text{(같은 성별)}\\[2pt] 0 & x_i\neq x_j\ \text{(다른 성별)}\end{cases}\;}$$

5-3 §9의 조건을 다시 보자. “$\delta_{ij}$가 $y^c_{ij}$(나머지 칸 전체)에 의존하지 않으면 쌍 독립(dyadic independence)이고, 그때 MPLE = MLE다.” $\delta^{\text{match}}_{ij}$는 망을 전혀 안 보므로 당연히 의존하지 않는다. 따라서 이 모형은 쌍 독립이다. 5-3에서 걱정한 문제가 오늘은 발생하지 않는다.

5-3에서 확인한 대로 $\delta^{\text{edge}}_{ij}=1$(항상)이므로, 조건부 로그오즈는

$$\operatorname{logit}P\bigl(A[i,j]=1\mid y^c_{ij}\bigr) =\theta_1\cdot 1+\theta_2\cdot\mathbb 1\{x_i=x_j\} =\begin{cases}\theta_1+\theta_2 & \text{같은 성별}\\ \theta_1 & \text{다른 성별}\end{cases}$$

쌍마다 값이 딱 두 가지다. 그러니 이 모형은 사실상 “동전 두 개”짜리 모형이다 — 같은 성별용 동전 하나, 다른 성별용 동전 하나.

3. 손 계산 ① — 6명 미니 학급, 15쌍 전부 (All 15 Dyads by Hand)

먼저 손으로 끝까지 갈 수 있는 크기로 시작한다.

6명 학급. 여학생 $\{1,2,3\}$, 남학생 $\{4,5,6\}$. 간선 6개: 1–2 1–3 2–3 4–5 5–6 3–4

$\binom62=15$쌍을 전부 적는다. 0인 항도 생략하지 않는다.

세 가지를 얻었다.

$$m(y)=6,\qquad g_{\text{match}}(y)=5,\qquad \sum_{i<j}\delta^{\text{match}}_{ij}=6$$

그래서 15쌍이 다음 2×2 표로 완전히 정리된다. 오늘의 모형이 아는 것은 이 네 숫자뿐이다.

4. 손 계산 ② — $\kappa$가 다시 닫힌 식이 된다 (The Normalizing Constant Closes Again)

5-2에서 $\kappa$는 $2^{561}$개를 더해야 해서 손도 컴퓨터도 못 댄다고 했다. 간선만 있는 모형에서는 우연히 닫힌 식 $(1+e^{\theta_1})^N$이 나왔지만, 삼각형 항을 넣자마자 무너졌다. 오늘은 왜 어떤 모형은 닫히고 어떤 모형은 안 닫히는지를 정확히 본다.

지수부를 쌍별로 쪼개 쓴다. $m(y)=\sum_{i<j}A[i,j]$이고 $g_{\text{match}}(y)=\sum_{i<j}A[i,j]\delta^{\text{match}}_{ij}$이므로,

$$\theta_1 m(y)+\theta_2 g_{\text{match}}(y) =\sum_{i<j}\Bigl(\theta_1+\theta_2\,\delta^{\text{match}}_{ij}\Bigr)A[i,j]$$

여기가 결정적이다. $\delta^{\text{match}}_{ij}$는 망에 의존하지 않는 상수이므로, 이 식은 “각 칸의 값 $A[i,j]$에 그 칸 고유의 상수를 곱해서 더한 것”이다. 따라서 지수함수가 곱으로 쪼개진다.

$$\exp\Bigl(\sum_{i<j}(\theta_1+\theta_2\delta_{ij})A[i,j]\Bigr) =\prod_{i<j}\exp\bigl((\theta_1+\theta_2\delta_{ij})A[i,j]\bigr)$$

이제 $\kappa$를 계산한다. 모든 망 $y$를 훑는다는 것은 각 칸을 독립적으로 0/1로 정하는 것과 같으므로, 합의 곱 = 곱의 합 규칙(분배법칙)으로 순서를 바꿀 수 있다.

$$\boxed{\;\kappa(\theta_1,\theta_2)=\bigl(1+e^{\theta_1+\theta_2}\bigr)^{N_{\text{같}}} \bigl(1+e^{\theta_1}\bigr)^{N_{\text{다}}}\;}$$

6명 학급이면 $\kappa=(1+e^{\theta_1+\theta_2})^{6}(1+e^{\theta_1})^{9}$. $2^{15}=32768$개를 더할 필요가 없다.

검산 두 가지 (Two Sanity Checks)

검산 ① $\theta_1=\theta_2=0$이면 모든 망이 같은 확률이므로 $\kappa$는 망의 총 개수여야 한다.

$$\kappa=(1+e^0)^{6}(1+e^0)^{9}=2^{6}\cdot 2^{9}=2^{15}=32768 \quad\checkmark$$

검산 ② $\theta_2=0$이면 5-2의 간선만 모형으로 돌아가야 한다.

$$\kappa=(1+e^{\theta_1})^{N_{\text{같}}}(1+e^{\theta_1})^{N_{\text{다}}}=(1+e^{\theta_1})^{N} \quad\checkmark$$

5. 손 계산 ③ — 정확한 MLE는 2×2 표의 로그 오즈비 (Exact MLE in Closed Form)

$\kappa$를 손에 넣었으니 로그가능도를 그대로 쓸 수 있다.

$$\ell(\theta_1,\theta_2)=\theta_1 m+\theta_2 m_{\text{같}} -N_{\text{같}}\log\bigl(1+e^{\theta_1+\theta_2}\bigr)-N_{\text{다}}\log\bigl(1+e^{\theta_1}\bigr)$$

변수 바꾸기 (reparametrization)

$\theta_1$과 $\theta_2$가 첫 항에 섞여 있어 불편하다. 두 “동전”의 로그오즈를 직접 쓰자.

$$\alpha=\theta_1\ \text{(다른 성별 쌍의 로그오즈)},\qquad \beta=\theta_1+\theta_2\ \text{(같은 성별 쌍의 로그오즈)}$$

첫 두 항을 다시 정리한다. $m=m_{\text{같}}+m_{\text{다}}$이므로

$$\theta_1 m+\theta_2 m_{\text{같}} =\theta_1(m_{\text{같}}+m_{\text{다}})+\theta_2 m_{\text{같}} =\underbrace{\theta_1}_{\alpha} m_{\text{다}}+\underbrace{(\theta_1+\theta_2)}_{\beta} m_{\text{같}}$$ $$\ell(\alpha,\beta)=\alpha\,m_{\text{다}}+\beta\,m_{\text{같}} -N_{\text{같}}\log(1+e^{\beta})-N_{\text{다}}\log(1+e^{\alpha})$$

이제 $\alpha$와 $\beta$가 완전히 분리됐다. 각각 따로 미분한다. $\dfrac{d}{du}\log(1+e^{u})=\dfrac{e^u}{1+e^u}$를 쓴다.

말로 하면 이렇다. 적합된 확률은 관측 비율과 정확히 같다. 같은 성별 쌍 중 실제로 친구인 비율, 다른 성별 쌍 중 실제로 친구인 비율 — 그게 답이다. (5-1에서 본 “충분통계량의 기댓값 = 관측값” 원리가 여기서는 두 조각으로 쪼개져 나타난 것이다.)

$$\boxed{\; \hat\theta_1=\log\frac{m_{\text{다}}}{N_{\text{다}}-m_{\text{다}}},\qquad \hat\theta_1+\hat\theta_2=\log\frac{m_{\text{같}}}{N_{\text{같}}-m_{\text{같}}},\qquad \hat\theta_2=\log\underbrace{\frac{m_{\text{같}}/(N_{\text{같}}-m_{\text{같}})} {m_{\text{다}}/(N_{\text{다}}-m_{\text{다}})}}_{\textstyle\text{오즈비 (odds ratio)}}\;}$$

6명 학급에 대입 (Applying It to a Class of Six)

§3의 2×2 표에서 $m_{\text{같}}=5,\ N_{\text{같}}-m_{\text{같}}=1,\ m_{\text{다}}=1,\ N_{\text{다}}-m_{\text{다}}=8$.

검산: $1.6094379-(-2.0794415)=3.6888794$ ✔ 그리고 $\log 40=3.6888795$ ✔

표준오차 (Standard Errors)

포화된 2×2 로지스틱의 표준오차는 네 칸의 역수의 합의 제곱근이라는 고전 공식으로 나온다.

$$\mathrm{SE}(\hat\theta_1)=\sqrt{\frac1{m_{\text{다}}}+\frac1{N_{\text{다}}-m_{\text{다}}}},\qquad \mathrm{SE}(\hat\theta_2)=\sqrt{\frac1{m_{\text{같}}}+\frac1{N_{\text{같}}-m_{\text{같}}} +\frac1{m_{\text{다}}}+\frac1{N_{\text{다}}-m_{\text{다}}}}$$ $$\mathrm{SE}(\hat\theta_2)=\sqrt{\tfrac15+\tfrac11+\tfrac11+\tfrac18} =\sqrt{0.2+1+1+0.125}=\sqrt{2.325}=1.5247951$$

$z=3.6888795/1.5247951=2.4193$, $p=0.0156$. 6명짜리 학급인데도 유의하게 나오지만, 95% 신뢰구간은 오즈비 기준 $[2.01,\ 794.3]$으로 어이없이 넓다. 같은 성별 비간선이 1개뿐이라 표가 거의 비어 있기 때문이다. 이 점은 §12에서 다시 본다.

6. R 검증 ① — 6명 미니 학급 (Verification I)

library(ergm); library(network)
A6 <- matrix(0, 6, 6)
for (e in list(c(1,2),c(1,3),c(2,3),c(4,5),c(5,6),c(3,4))) { A6[e[1],e[2]] <- 1; A6[e[2],e[1]] <- 1 }
nw6 <- network(A6, directed = FALSE)
nw6 %v% "sex" <- c("여","여","여","남","남","남")

summary(nw6 ~ edges + nodematch("sex"))
        edges nodematch.sex
            6             5          # m = 6, g_match = 5  ✔ (§3 표와 일치)

summary(ergm(nw6 ~ edges + nodematch("sex")))
                  Estimate  Std. Error  z value  Pr(>|z|)
edges            -2.079442    1.060652   -1.961    0.0499     # log(1/8)  ✔
nodematch.sex     3.688879    1.524789    2.419    0.0156     # log(40)   ✔

exp(3.688879)
[1] 40   # 오즈비 ✔

※ 표준오차는 §5의 정확한 공식이 $1.0606602$와 $1.5247951$인데 ergm은 $1.060652$, $1.524789$를 찍는다. ergm은 IRLS로 수치 반복을 하는데 이 표에 칸 값이 1인 칸(같은 성별 비간선 1개)이 있어 5째 자리에서 수렴 오차가 남은 것이다. 10명 학급(§11)은 7자리까지 일치한다.

MPLE = MLE 확인 (Confirming MPLE Equals MLE)

coef(ergm(nw6 ~ edges + nodematch("sex"), estimate = "MPLE"))
        edges nodematch.sex
    -2.079442      3.688879
coef(ergm(nw6 ~ edges + nodematch("sex")))          # 기본값 = MLE
        edges nodematch.sex
    -2.079442      3.688879      # 소수 9자리까지 동일 ✔

$\kappa$ 닫힌 식 전수 검증 (Brute-Force Check)

6명은 $2^{15}=32768$개라 전수 계산이 가능하다. 아무 $\theta$나 잡아 두 값을 비교한다.

th <- c(-0.37, 1.23)
## ① 32768개 전수 합
lin <- sapply(0:32767, function(cd) {
  b <- as.integer(intToBits(cd))[1:15]
  th[1]*sum(b) + th[2]*sum(b * same15)          # same15 = 15쌍의 delta 벡터
})
M <- max(lin); M + log(sum(exp(lin - M)))
[1] 12.00375383

## ② 닫힌 식 (§4)
6*log(1+exp(th[1]+th[2])) + 9*log(1+exp(th[1]))
[1] 12.00375383     # 차이 1.07e-14 (부동소수점 오차)  ✔

7. 손 계산 ④ — 3-7의 10명 학급 (The Main Example)

이제 3-7에서 E-I 지수를 구했던 바로 그 학급으로 간다 (그림 59 오른쪽).

10명 학급. 남학생 $S_1$–$S_6$, 여학생 $S_7$–$S_{10}$. 간선 15개:

1–2   1–3   2–3   3–4   3–7   3–8   3–9   4–5   4–6   5–6   6–10   7–8   7–10   8–9   9–10

7-1. 쌍을 센다 (counting dyads)

7-2. 간선을 센다 (counting edges)

15개 간선을 하나씩 분류한다. 하나도 빠뜨리지 않는다.

$$g_{\text{match}}=\underbrace{1+1+1+1}_{\text{1–2,1–3,2–3,3–4}} +\underbrace{0+0+0}_{\text{3–7,3–8,3–9}} +\underbrace{1+1+1}_{\text{4–5,4–6,5–6}} +\underbrace{0}_{\text{6–10}} +\underbrace{1+1+1+1}_{\text{7–8,7–10,8–9,9–10}} =11$$

남–남 간선 7개(1–2, 1–3, 2–3, 3–4, 4–5, 4–6, 5–6), 여–여 간선 4개(7–8, 7–10, 8–9, 9–10), 교차 간선 4개(3–7, 3–8, 3–9, 6–10). 합 $7+4+4=15$ ✔ 그리고 $m_{\text{같}}=7+4=11$, $m_{\text{다}}=4$.

7-3. 2×2 표 (The 2×2 Table)

7-4. 추정값 (The Estimates)

8. E-I 지수의 회수 (Recovering the E-I Index)

3-7의 E-I 지수는 간선만 세는 지표였다. 오늘의 기호로 쓰면

$$EI=\frac{EL-IL}{EL+IL}=\frac{m_{\text{다}}-m_{\text{같}}}{m}$$

10명 학급이면 $EI=\dfrac{4-11}{15}=-\dfrac{7}{15}=-0.4666667$ ✔ (3-7과 동일)

이제 $\hat\theta_2$와 $EI$를 잇는다. 먼저 E-I를 비율로 뒤집는다.

확인: $\dfrac{1-(-7/15)}{1+(-7/15)}=\dfrac{22/15}{8/15}=\dfrac{22}{8}=2.75=\dfrac{11}{4}$ ✔

한편 오즈비를 간선 수와 비간선 수로 쪼개면

$$e^{\hat\theta_2} =\frac{m_{\text{같}}/(N_{\text{같}}-m_{\text{같}})}{m_{\text{다}}/(N_{\text{다}}-m_{\text{다}})} =\underbrace{\frac{m_{\text{같}}}{m_{\text{다}}}}_{\text{간선 비}}\times \underbrace{\frac{N_{\text{다}}-m_{\text{다}}}{N_{\text{같}}-m_{\text{같}}}}_{\text{비간선 비}}$$

앞의 인자가 방금 구한 $(1-EI)/(1+EI)$다. 그래서 정확한 등식이 나온다.

$$\boxed{\;e^{\hat\theta_2}=\frac{1-EI}{1+EI}\cdot\frac1{Q}, \qquad Q\;\equiv\;\frac{N_{\text{같}}-m_{\text{같}}}{N_{\text{다}}-m_{\text{다}}} =\frac{\text{같은 성별 비간선 수}}{\text{다른 성별 비간선 수}}\;}$$

뒤집으면 계수에서 E-I를 되찾는 식이다.

$$\boxed{\;EI=\frac{1-e^{\hat\theta_2}Q}{1+e^{\hat\theta_2}Q}\;}$$

10명 학급으로 확인 (Checking with a Class of Ten)

반대 방향으로도 확인. $\dfrac{1-EI}{1+EI}\cdot\dfrac1Q=2.75\times2=5.5=e^{\hat\theta_2}$ ✔

6명 학급도 같은 식으로: $Q=\dfrac{6-5}{9-1}=\dfrac18=0.125$, $e^{\hat\theta_2}Q=40\times0.125=5$, $EI=\dfrac{1-5}{1+5}=-\dfrac46=-0.6666667$. 직접 계산해도 $\dfrac{1-5}{6}=-\dfrac46$ ✔

9. 영점 — $\theta_2=0$은 3-7의 기준선이다 (The Zero Point)

“동질성이 없다”는 것은 무엇인가? 오늘의 모형에서는 명확하다 — $\theta_2=0$, 즉 오즈비 1. 그러면 E-I는 얼마가 되어야 할까? 0이 아니다.

$\theta_2=0$이면 두 확률이 같다: $p_{\text{같}}=p_{\text{다}}=p$. 그러면

§8의 회수 식에 $e^{\theta_2}=1$과 이 $Q$를 넣으면

$$EI=\frac{1-N_{\text{같}}/N_{\text{다}}}{1+N_{\text{같}}/N_{\text{다}}} =\frac{N_{\text{다}}-N_{\text{같}}}{N_{\text{다}}+N_{\text{같}}} \;=\;EI^{\text{exp}}_{\text{쌍}}$$

10명 학급에서 확인:

$$EI^{\text{exp}}_{\text{쌍}}=\frac{24-21}{45}=\frac{3}{45}=\frac1{15}=+0.0666667$$

3-7 §9의 값과 일치 ✔ 숫자로도 확인해 보자. $\theta_2=0$이고 간선 15개를 그대로 두면 $m_{\text{같}}=15\times\frac{21}{45}=7$, $m_{\text{다}}=15\times\frac{24}{45}=8$이 되고,

$$EI=\frac{8-7}{15}=\frac1{15} \quad\checkmark$$

그러니 이 학급의 관측 $EI=-0.4667$은 “0에서 0.4667만큼 내려간 것”이 아니라 기준선 $+0.0667$에서 0.5333만큼 내려간 것이다. $\hat\theta_2=1.7047$이라는 하나의 숫자가 이 “내려간 정도”를 이미 담고 있다.

10. 함정 — E-I는 흔들리고 오즈비는 안 흔들린다 (The Group-Size Trap)

§1의 함정 ①을 정면으로 실험해 본다. 사람들의 행동 규칙을 고정해 놓고 집단 크기만 바꾼다.

• 학급 30명, 두 집단 A와 B로 나눈다. A의 크기를 $k=1,2,\dots,29$로 바꾼다.
• 규칙은 내내 똑같다: 같은 집단인 쌍은 확률 $0.30$으로, 다른 집단인 쌍은 확률 $0.10$으로 친구가 된다.

규칙이 고정이므로 오즈비도 고정이다.

$$e^{\theta_2}=\frac{0.30/0.70}{0.10/0.90}=\frac{0.4285714}{0.1111111}=3.857143, \qquad \theta_2=\log 3.857143=1.3499267$$

11. R 검증 ② — 10명 학급 (Verification II)

A10 <- matrix(0, 10, 10)
E10 <- list(c(1,2),c(1,3),c(2,3),c(3,4),c(3,7),c(3,8),c(3,9),
            c(4,5),c(4,6),c(5,6),c(6,10),c(7,8),c(7,10),c(8,9),c(9,10))
for (e in E10) { A10[e[1],e[2]] <- 1; A10[e[2],e[1]] <- 1 }
nw10 <- network(A10, directed = FALSE)
nw10 %v% "sex" <- c(rep("남",6), rep("여",4))

summary(nw10 ~ edges + nodematch("sex"))
        edges nodematch.sex
           15            11          # ✔ §7-2의 손 계산

mixingmatrix(nw10, "sex")
   남 여
남  7  4
여  4  4                             # ✔ 3-7 §10의 혼합행렬

summary(ergm(nw10 ~ edges + nodematch("sex")))
                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
edges             -1.60944    0.54772  -2.938  0.00330   # log(1/5)  ✔
nodematch.sex      1.70475    0.70065   2.433  0.01497   # log(5.5)  ✔

exp(1.70475)
[1] 5.500002   # 오즈비 ✔

표준오차도 §7-4의 손 계산과 일치한다: $\sqrt{1/4+1/20}=\sqrt{0.3}=0.5477226$, $\sqrt{1/11+1/10+1/4+1/20}=0.7006490$ ✔

3-7의 다른 지표들과 나란히 (Compared with 3-7's Measures)

## E-I 지수 (3-7)
(4 - 11) / 15
[1] -0.4666667

## 뉴먼의 r (3-7 §11)
assortativity_nominal(g10, as.integer(factor(sex)), directed = FALSE)
[1] 0.4444444

## 간선만 모형 (5-2) — 밀도의 로짓
coef(ergm(nw10 ~ edges))
     edges
-0.6931472        # = log(15/30) = logit(1/3) ✔

세 지표는 같은 방향을 가리키지만, 마지막 두 열이 오늘 새로 생긴 것이다.

12. 계수를 읽는 법 — 오즈비·확률·표준오차 (Reading the Coefficient)

12-1. 오즈비 (odds ratio)

12-2. 오즈비는 확률의 배수가 아니다 (odds ratio ≠ risk ratio)

흔한 오독이다. “5.5배”는 확률이 5.5배라는 뜻이 아니다.

확률로 말하려면 반드시 두 확률을 각각 계산해서 보여 줘야 한다.

$$p=\frac{1}{1+e^{-(\theta_1+\theta_2\delta)}}\quad\Longrightarrow\quad p_{\text{다}}=\frac1{1+e^{1.6094}}=0.1667,\qquad p_{\text{같}}=\frac1{1+e^{-0.0953}}=0.5238$$

12-3. 표준오차와 신뢰구간 (SE and CI)

신뢰구간은 로그 눈금에서 만들고 나서 지수를 취한다. 오즈비 자체는 대칭이 아니기 때문이다.

$$\hat\theta_2\pm1.96\,\mathrm{SE}=1.7047\pm1.96(0.7006)=[0.3315,\ 3.0780] \quad\Longrightarrow\quad e^{[\cdot]}=[1.393,\ 21.72]$$

13. R 검증 ③ — FMH 1461명 실전 (Verification III: Real Data)

교재의 FMH(Faux Magnolia High) 자료로 간다. 가상의 미국 고등학교 1461명, 간선 974개, 밀도 $0.000913$. 속성은 Grade(7–12학년), Sex, Race.

library(ergm)
data(faux.magnolia.high); fmh <- faux.magnolia.high
network.size(fmh); network.edgecount(fmh)
[1] 1461
[1] 974

13-1. 속성 하나씩 — 닫힌 식으로도 확인 (One Attribute at a Time)

§5의 공식이 1461명에서도 그대로 맞는지 확인한다. $\binom{1461}{2}=1{,}066{,}530$쌍.

coef(ergm(fmh ~ edges + nodematch("Grade")))
        edges nodematch.Grade
    -8.652257        3.237752

## 손 계산과 대조
log(154/(881504-154))                       # theta1
[1] -8.652257
log((820/(185026-820)) / (154/(881504-154))) # theta2
[1] 3.237752      # ✔ 소수 6자리 일치

13-2. 세 속성을 함께 — 통제 (controlling for other attributes)

summary(ergm(fmh ~ edges + nodematch("Grade") + nodematch("Sex") + nodematch("Race")))
                  Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)
edges           -10.012766   0.115258  -86.87   < 1e-99
nodematch.Grade   3.231045   0.087879   36.77   < 1e-99
nodematch.Sex     0.884378   0.070566   12.53   < 1e-99
nodematch.Race    1.196459   0.081466   14.69   < 1e-99

exp(coef(...)[-1])
nodematch.Grade   nodematch.Sex  nodematch.Race
        25.3061          2.4215          3.3084

단독으로 넣었을 때(3.2378 / 0.8796 / 1.2187)와 함께 넣었을 때(3.2310 / 0.8844 / 1.1965)가 거의 안 움직인다. 이 학교에서는 세 속성이 서로 거의 독립이라는 뜻이다 (예컨대 “같은 인종 친구가 많아 보이는 게 사실은 같은 학년이라서”가 아니다). 움직였다면 그것 자체가 발견이 된다.

13-3. diff=TRUE — 집단별로 따로 (group-specific homophily)

지금까지는 “같으면 1”로 모든 학년을 한 덩어리로 취급했다. 학년별로 나눠 볼 수도 있다.

summary(ergm(fmh ~ edges + nodematch("Grade", diff = TRUE)))
                     Estimate Std. Error  z value
edges               -8.652257    0.080585  -107.37
nodematch.Grade.7    3.617077    0.125076    28.92     # exp => 37.23배
nodematch.Grade.8    3.769456    0.112252    33.58     # exp => 43.36배  ← 가장 폐쇄적
nodematch.Grade.9    2.857681    0.114425    24.97     # exp => 17.42배  ← 가장 개방적
nodematch.Grade.10   2.968543    0.114626    25.90     # exp => 19.46배
nodematch.Grade.11   3.279663    0.114470    28.65     # exp => 26.57배
nodematch.Grade.12   3.329898    0.132888    25.06     # exp => 27.94배

edges 계수 $-8.652257$이 13-1의 Grade 단독 모형과 정확히 같다. 당연하다 — 두 모형 모두 “다른 학년 쌍”이라는 기준 범주를 그대로 두고 같은 성별 칸만 쪼갠 것이기 때문이다.

14. 교실 적용 (Classroom Application)

14-1. “몇 배”로 말할 수 있게 된다 (Now You Can Say How Many Times)

14-2. 학급끼리·연도끼리 비교가 가능해진다 (Comparison Across Classes and Years)

14-3. 여러 속성을 동시에 통제할 수 있다 (Controlling Several Attributes at Once)

14-4. 이질성(음수 계수)도 발견이다 (Heterophily Is a Finding Too)

14-5. 작은 학급에서는 세기를 단정하지 말 것 (Do Not Assert Strength in a Small Class)

14-6. nodematch가 할 수 없는 것 (What nodematch Cannot Do)

15. 연습문제 (Exercises)

16. 해설과 답 (Solutions)

연습 1 해설 (Solution to Exercise 1)

(1) 2×2 표 — 무엇을 세는가

먼저 쌍을 센다. 간선과 무관하게 “같은 반 출신인가”만 본다.

이제 간선 8개를 하나씩 분류한다. 0인 항도 빠뜨리지 않는다.

$$g_{\text{match}}=1+1+1+1+1+1+1+0=7$$

(2) 추정값

검산: $0.1541507-(-2.6390573)=2.7932080$ ✔

의미 — 작년에 같은 반이었던 두 사람은 그렇지 않은 두 사람보다 친구일 오즈가 16.3배다. 확률로 보면 $7/13=0.538$ 대 $1/15=0.067$로 8배 차이다 (§12-2의 경고 그대로, 오즈비 16.3과 확률비 8.1은 다르다).

(3) E-I 지수와 회수 공식

직접: 외부 간선 $EL=m_{\text{다}}=1$, 내부 간선 $IL=m_{\text{같}}=7$, $m=8$.

$$EI=\frac{EL-IL}{m}=\frac{1-7}{8}=\frac{-6}{8}=-0.75$$

회수 공식으로:

(4) 기준선과의 거리

$$EI^{\text{exp}}_{\text{쌍}}=\frac{N_{\text{다}}-N_{\text{같}}}{N_{\text{다}}+N_{\text{같}}} =\frac{15-13}{28}=\frac{2}{28}=\frac1{14}=+0.0714286$$

연습 2 해설 (Solution to Exercise 2)

(1) E-I 지수

주어진 것을 표로 정리한다.

(쌍 수 검산: $\binom82+\binom22=28+1=29$ ✔, $8\times2=16$ ✔, 합 $45=\binom{10}2$ ✔)

$$EI=\frac{EL-IL}{m}=\frac{8-9}{17}=\frac{-1}{17}=-0.0588235$$

(2) 계수

(3) 왜 어긋났는가

기준선을 계산해 본다.

$$EI^{\text{exp}}_{\text{쌍}}=\frac{N_{\text{다}}-N_{\text{같}}}{N_{\text{다}}+N_{\text{같}}} =\frac{16-29}{45}=\frac{-13}{45}=-0.2888889$$

회수 공식으로도 확인된다. $Q=\dfrac{29-9}{16-8}=\dfrac{20}{8}=2.5$, $e^{\hat\theta_2}Q=0.45\times2.5=1.125$,

$$EI=\frac{1-1.125}{1+1.125}=\frac{-0.125}{2.125}=-0.0588235 \quad\checkmark$$

(4) 최종 보고